[挑戰題]求方程式係數和根

1)設整係數方程式x^2-2(m+1)x+m^2=0有二整數根,且24<m<84,求m=□

2)設a>0 , b>0
且a^2+b^2=19/9 , (a-1)(b-1)= -1/3 ,
則以a,b為二根之整係數二次方程式=?

原連結

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(1)有有理根, 判別式(D)必為完全平方數

D=4(m+1)^2-4m^2=4(2m+1)=2^2(2m+1)



24<m<84, 48<2m<168, 49<2m+1<169

49與169間的完全平方數有: 64,81,100,121,144,

m為整數, 2m+1=81, 121

2m=80,120,   m=40,60

答m=40,60



(2)令a+b=p, ab=q

a^2+b^2=19/9 , (a+b)^2-2ab=19/9, p^2-2q=19/9…………(1)

(a-1)(b-1)= -1/3, ab-a-b+1=-1/3, q-p+1=-1/3....…….…….…(2)

(1)+2*(2):

p^2-2p+2=19/9-2/3

p^2-2p+1=4/9

(p-1)^2=4/9

p=1+-2/3=5/3,1/3

a+b=1/3, 代入(2):q=-1,
不合, 因為a>0,b>0

a+b=5/3, 代入(2):q=1/3

 

則以a,b為兩根之二次方程式為

(x-a)(x-b)=0, x^2-px+q=0,

x^2-5/3x+1/3=0,

得整係數二次方程式 3x^2-5x+1=0