[挑戰]因式分解11題(網友共解)

[挑戰]因式分解11題(網友共解) 

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(23)x^5 + x + 1
= x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 - x^4 - x^3 - x^2
= x^3(x^2 + x + 1) + (x^2 + x + 1) - x^2(x^2 + x + 1)
= (x^2 + x + 1)(x^3 + 1 - x^2)
= (x^2 + x + 1)(x^3 - x^2 + 1)

由d_conan_1995解出

(24)x^7+x+1~~~此多項式在整數上不可約

先證明
若degf(x)=n，存在2n+1個不同的整數m使得|f(m)|為質數，
則f(x)在整數上不可約
[設f(x)可約成g(x)h(x)
則設r=degg(x),s=degh(x) r+s=n
g(x)=1最多有r的根，g(x)=-1最多也有r個根
h(x)=1最多有s的根，h(x)=-1最多也有s個根
所以|g(x)|=1和|h(x)|=1最多有2(r+s)=2n個根
但是
|f(m)|=|g(m)h(m)|為質數，必有|g(m)|=1或|h(m)|=1
m有2n+1個 與上述最多2n個矛盾
故f(x)在整數上不可約]

所以我用程式算出
f(x)=x^7+x+1
當x=1,2,15,21,27,49,76,83,91,96,-1,-6,-9,-28,-32,-40,-100,....時f(x)為質數
正負100之間找到17個(大於2*7+1=15個)
所以f(x)=x^7+x+1在整數上不可約

 

by 熊仔

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1009120400825

(29)(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3= 3(a-b)(b-c)(c-a)

  老王 傳音入密 說:由(28)x^3+y^3+z^3-3xya=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yx-zx)可解(29)

令x=a-b, y=b-c, z=c-a代入(28)
(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3-3(a-b)(b-c)(c-a)=(a-b+b-c+c-a)(---------)=0
得:
(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3= 3(a-b)(b-c)(c-a)

 

(25)x^8+x^7+1

=x^8+x^7+x^6-x^6+1

=x^6(x^2+x+1)-(x^6-1)

=x^6(x^2+x+1)-(x^2-1)(x^4+x^2+1)

=x^6(x^2+x+1)-(x^2-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)

=(x^2+x+1)[x^6-(x^2-1)(x^2-x+1)]

=(x^2+x+1)(x^6-x^4+x^3-x+1)

由Simon大大解出