某國中段考 因式分解

(1) x^4+6x^3-x^2-30x+25

(2) x^3-6x^2+3x+10

(3) 2a^2+2b^2+3c^2+5ab-5bc-7ac

這幾題是在某家國中的月考考卷看到的，

因式分解不外乎：提公因式法、分組分解、公式解等等。

可是這些方法在這幾題好像都用不上，請問各位數學高手，

該如何因式分解？

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(1) x^4+6x^3-x^2 -30x+25...........拆項
=x^4+6x^3+9x^2-10x^2 -30x+25
=x^2(x^2+6x+9)-10x(x+3)+25
=[x(x+3)]^2-10x(x+3)+25........和平方乘法公式
=[x(x+3)-5]^2
=(x^2+3x-5)^2  

***亦可直接用三數和平方公式
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca

(2) x^3-6x^2 +3x+10..............拆項
=x^3-5x^2-x^2 +3x+10
=x^2(x-5)-(x^2-3x-10)
=x^2(x-5)-(x-5)(x+2)
=(x-5)(x^2-x-2)
=(x+1)(x-2)(x-5)
***或用一次因式檢驗f(-1)=0, 有x+1之因式

(3) 2a^2+2b^2+3c^2+5ab-5bc-7ac
=(2a+b)(a+2b)-c(7a+5b)+3c^2...........十字交乘
=(2a+b-c)(a+2b-3c) 

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[挑戰]因式分解 X^10+X^5+1

因式分解: X^10+X^5+1

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X^10+X^5+1


用因式檢驗法,
令x=w代入
w^10+w^5+1=w+w^2+1=0
故有x^2+x+1之因式

x^10+x^5+1
=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)

**w=(-1+-√3i)/2

國中生可用以下解法
x^10+x^5+1
=x^10+x^9+x^8-(x^9+x^8+x^7)+(x^7+x^6+x^5)
-(x^6+x^5+x^4)+(x^5+x^4+x^3)
-(x^3+x^2+x)+(x^2+x+1)
=x^8(x^2+x+1)-x^7(x^+x+1)+x^5(x^2+x+1)
-x^4(x^2+x+1)+x^3(x^2+x+1)-x(x^2+x+1)
+(x^2+x+1)
=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)
 
 

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數字因式分解[(2^2－1)/2^2]x[(3^2－1)/3^2]x.....

[(2^2－1)/2^2]x[(3^2－1)/3^2]x[(4^2－1)/4^2]x ...x[(99^2－1)/99^2]

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暫時回答

1.

-5，8，-8，5，-31，-10，？，-37，？，-76，？

 

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長除法求因式分解2題

1. 若X--1可以整除X^2-5X+4則X^2-5X+4的因式分解為何?

2.若X+1是X^2-KX+6的因式 則K之值為何?

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[挑戰題]ax(b-c)^2+bx(c-a)^2+cx(a-b)^2

ax(b-c)^2+bx(c-a)^2+cx(a-b)^2

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解方程式

有難度的解方程式 

(1) 求(x+1)(2x+1)(3x-1)(4x-1)+6x^4=0之解(請不要用硬拆的方法解)

(2) 求(2-根號3)x^2-2(根號3-1)x-6=0之解(我想知道公式解以外的方法)

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以下解法由小月所提供, 本人代為貼出:
(1) (x+1)(2x+1)(3x-1)(4x-1)+6x^4=0
(x+1) (3x-1) (2x+1) (4x-1)+6x^4=0
(3x^2+2x-1)(8x^2+2x-1)+6x^4=0
令k=2x-1

(3x^2+k)(8x^2+k)+6x^4=0
k^2+11kx^2+24x^4+6x^4=0
(k+5x^2)(k+6x^2)=0
代回k

5x^2+2x-1=0, x=(-1+-√6)/5
6x^2+2x-1=0, x=(-1+-√7)/6
答: x=(-1+-√6)/5, (-1+-√7)/6

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[挑戰]因式分解11題(網友共解)

[挑戰]因式分解11題(網友共解) 

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(23)x^5 + x + 1
= x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 - x^4 - x^3 - x^2
= x^3(x^2 + x + 1) + (x^2 + x + 1) - x^2(x^2 + x + 1)
= (x^2 + x + 1)(x^3 + 1 - x^2)
= (x^2 + x + 1)(x^3 - x^2 + 1)

由d_conan_1995解出

(24)x^7+x+1~~~此多項式在整數上不可約

先證明
若degf(x)=n，存在2n+1個不同的整數m使得|f(m)|為質數，
則f(x)在整數上不可約
[設f(x)可約成g(x)h(x)
則設r=degg(x),s=degh(x) r+s=n
g(x)=1最多有r的根，g(x)=-1最多也有r個根
h(x)=1最多有s的根，h(x)=-1最多也有s個根
所以|g(x)|=1和|h(x)|=1最多有2(r+s)=2n個根
但是
|f(m)|=|g(m)h(m)|為質數，必有|g(m)|=1或|h(m)|=1
m有2n+1個 與上述最多2n個矛盾
故f(x)在整數上不可約]

所以我用程式算出
f(x)=x^7+x+1
當x=1,2,15,21,27,49,76,83,91,96,-1,-6,-9,-28,-32,-40,-100,....時f(x)為質數
正負100之間找到17個(大於2*7+1=15個)
所以f(x)=x^7+x+1在整數上不可約

 

by 熊仔

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1009120400825

(29)(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3= 3(a-b)(b-c)(c-a)

  老王 傳音入密 說:由(28)x^3+y^3+z^3-3xya=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yx-zx)可解(29)

令x=a-b, y=b-c, z=c-a代入(28)
(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3-3(a-b)(b-c)(c-a)=(a-b+b-c+c-a)(---------)=0
得:
(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3= 3(a-b)(b-c)(c-a)

 

(25)x^8+x^7+1

=x^8+x^7+x^6-x^6+1

=x^6(x^2+x+1)-(x^6-1)

=x^6(x^2+x+1)-(x^2-1)(x^4+x^2+1)

=x^6(x^2+x+1)-(x^2-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)

=(x^2+x+1)[x^6-(x^2-1)(x^2-x+1)]

=(x^2+x+1)(x^6-x^4+x^3-x+1)

由Simon大大解出

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12.3x11.8－11.9x12.5

因數分解
119-學15 計算12.3x11.8－11.9x12.5之值為何
119 老13 設A為多項式 且2X三的次方－5x+4/A=(x－2)+2/A
則多項式A為何

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計算12.3x11.8－11.9x12.5之值為何
令12=x
(x+0.3)(x-0.2)-(x-0.1)(x+0.5)
=x^2+0.1x-0.06-x^2-0.4x+0.05
=-0.3x-0.01
=-3.61
 
119 老13 設A為多項式 且2X三的次方－5x+4/A=(x－2)+2/A
則多項式A為何

兩邊同乘A:
2x^3-5x+4=(x-2)A+2
(2x^3-5x+2)/(x-2)=A
A=不能整除    題目有誤  

• 2009-11-12 15:16:03 補充
  

  若題目改
  2X^2－5x+4/A=(x－2)+2/A
  
  兩邊同乘A:
  2x^2-5x+4=(x-2)A+2
  (2x^2-5x+2)/(x-2)=A
  A=2x-1
  
  則有解

  
  

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最後三題有水準hk

最後三題因式分解有水準

9.已知x+3是多項式x^3+x^2+mx+3的因式
(a)求m的值
(b)將該多項式因式分解

10.已知x-4是多項式x^3+Cx^2-x-C的因式
(a)求C的值
(b)將該多項式因式分解

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21.已知f(x)=8x^3+(4k+4)^2-4x+k，其中k≠0。若f(x)可被2x+k整除
[a]求k的值
[b]將f(x)因式分解

22.已知x+1和x-2都是x^3-ax^2+x-b的因式
[a]求a和b的值
[b]求該多項式其餘的因式

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26. 8x^4-28x^3+16x^2-2x

27. x^4-5x^3-2x^2+9x+5

28. x^4+2x^3-7x^2-8x+12

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9.
(a)令x=-3代入, -27+9-3m+3=0, m=-5 
(b)得原式為x^3+x^2-5x+3
=(x+3)(x^2-2x+1)=(x+3)(x-1)^2

10.
(a)令x=4,代入得4^3+4^2C-4-C=0, C=-4  

(b)得原式為: x^3+12x^2-x-12

(x-4)(x^2-1)= (x-4)(x+1)(x-1)

 

21. [a] 由長除法得:

[8x^3+(4k+4)x^2-4x+k]/(2x+k)=(4x^2+2x+1)….0

得 k=-3,

[b]f(x)= (4x^2+2x+1)(2x-3) 

22.

[a](x+1)(x-2)=x^2-x-2

由長除法得: (x^3-ax^2+x-b)/( x^2-x-2)=(x-3)…….0

b=-6, a=4
[b]其餘的因式: (x-3)

長除法過程

26.
8x^4-28x^3+16x^2-2x
=2x(4x^3-14x^2+8x-1)
=(2x-1)(2x^2-6x+1)

27.
x^4-5x^3-2x^2+9x+5
=x^3(x-5)-(2x^2-9x-5)
=x^3(x-5)-(2x+1)(x-5)
=(x-5)(x^3-2x-1)
=(x-5)(x+1)(x^2-x-1)

28.
x^4+2x^3-7x^2-8x+12
=x^4+2x^3+ax^2+bx^2-8x+12
(1:2:a=b:-8:12, a=-3, b=-4)
=x^4+2x^3-3x^2-4x^2-8x+12
=x^2(x^2+2x-3)-4(x^2+2x-3)
=(x^2-4)(x^2+2x-3)
=(x+2)(x-2)(x^2+2x-3)

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[挑戰一題]因式分解一題

X^8+X^6+X^4+X^2+
1
這題很難~~連老師不會!!我不知怎麼解!!但只限三個算式~~

而且第三個算式答案就要出來了!如果可以請幫我!!謝謝]

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長除法求係數與因式分解

 

 

 

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配方求何種三角形?

設三角形ABC的三邊長為a,b,c且5a^2+5b^2+5c^2-6ac-8bc=0, 則三角形ABC為何種三角形?

為什麼呀?請詳解

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過程如下,
請參考

5a^2+5b^2+5c^-6ac-8bc=0(按ac,
bc分組)
(5a^2-6ac+_____)+(5b^2-8bc+______)+5c^2=0(準備配方)
(a^2-6/5ac+_____)+(b^2-8/5bc+______)+c^2=0
(a^2-6/5ac+9/25c^2)+(b^2-8/5bc+16/25c^2)=0
(a-3/5c)^2+(b-4/5c)^2=0
得a=3/5c,
b=4/5c
a:b:c=3/5c:4/5c:c=3:4:5 

答:直角三角形

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[課外補充]超古老因式分解法

1)729a^3=27a......求a值

2)因式分解x^3+a^2-1-2xa-x^2a

3)a,b>0,且27a^3=8b^3 , 求a/b=?

4)k是有理數,(k^2+4k+5)x^2-2(k^2+3k+b)x+(k^2+ak+b)=0,有一根為1,求x^2-2ax-b=0之二根?

5)為何b^2-4ac>0不為完全平方數時,在Q中不能分解,但在R中可分解?
原理何在,請詳述並舉例

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基本因式分解6題

112乘法公式與多項式
(1)1.99^2
(2)30又1/3X 29又2/3

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113
(1)999^2＋1001^2
(2)(852^2－48^2)/(1001^2－599^2)X[(100－7)^2＋1400]/[(100＋7)^2－1400]

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112
(3)11^2＋161X139－50^2
(4)18x27－82x13－13X18＋82X27

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[挑戰題]因式分解難題(B)

1) x^2+y^3+xy^2+2xy-1

2) x^4-4y^4-4xy^3-(xy)^2

3) (xy+2)^2 - (x-y)^2 -4xy

4) (2x-y)(x+y)-3y-2

5) a^4+a^2-2ab-b^2+1

引用來源連結

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(1)x^2+y^3+xy^2+2xy-1
=x^2+2xy+y^2+y^3+xy^2-y^2-1
=(x+y)^2+y^2(x+y)-(y^2+1)
=(x+y+y^2+1)(x+y-1) ~~~十字交乘

(2)x^4-4y^4-4xy^3-(xy)^2
=x^4-x^2y^2-4y^4-4xy^3
=x^2(x^2-y^2)-4y^3(y+x)
=x^2(x+y)(x-y)-4y^3(y+x)
=(x+y)[x^2(x-y)-4y^3]
=(x+y)(x^3-yx^2-4y^3)

(3) (xy+2)^2 - (x-y)^2 -4xy
= (xy+2)^2 - [(x-y)^2 +4xy]
= (xy+2)^2 - (x+y)^2
=(xy+2+x+y)(xy+2-x-y)

4) (2x-y)(x+y)-3y-2=(2x-y-2)(x+y+1)
(2x-y)    -2
(x+y) +1

(5)a^4+a^2-2ab-b^2+1
=a^4+a^2-(2ab+b^2)+1
=a^4+a^2-(a^2+2ab+b^2)+1+a^2 (減a^2加a^2)
=a^4+2a^2+1-(a+b)^2
=(a^2+1)^2-(a+b)^2
=(a^2+1+a+b)(a^2+1-a-b)
=(a^2+a+b+1)(a^2-a-b+1)

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[挑戰題]因式分解難題(A)

1) 怎樣判斷一個多項式已經無法再分解了? 如下....
甲----x^4+4
乙----x^8+64
丙----x^4-x^2+1
丁----x^3+x^2-2
戊----x^4+1
2) 何者非x^6-1之因式?
甲----(x+1)
乙----(x^2+1)
丙----(x^2-x-1)
丁----(x^4+x^2+1)
3)
因式分解...bx^2+a^2b-(2ab-a^2)x+x^3-2ax^2
4)
因式分解...(x+y)(xy+1)+5xy+(xy-1)^2

引用來源連結

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(1)怎樣判斷一個多項式已經無法再分解了? 如下....
甲----x^4+4******* 當然可以再分
=x^4+4x^2 +4-4x^2 =(x^2+2)^2-(2x)^2
=(x^2+2+2x)(x^2-2+2x)
乙----x^8+64*******   當然可以再分
= x^8+64+16x^4-16x^4  

 

=(x^4+8)^2-16x^4

=( x^4+8+4x^2)( x^4+8-4x^2)

 丙----x^4-x^2+1*******可能不能再分 

 丁----x^3+x^2-2******* 當然可以再分
一次因式檢驗法, 令 x=1,原式1+1-2=0
原式=(x-1)(x^2+2x+2) 

戊----x^4+1****** 不能再分

= x^4+1 

(2)x^6-1=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)
乙----(x^2+1)
丙----(x^2-x-1)   均 非x^6-1之因式

(3)bx^2+a^2b-(2ab-a^2)x+x^3-2ax^2
=x^3-2ax^2+bx^2-(2ab-a^2)x+a^2b
=(a-x)^2*(b+x)

(4)(x+y)(xy+1)+5xy+(xy-1)^2

=(x+y)(xy+1)+5xy+(xy+1)^2-4xy
=(xy+1)(xy+x+y+1)+xy
=(xy+1)^2+(x+y)(xy+1)+xy
=(xy+1+x)(xy+1+y)

不容易喔!

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因式分解

1.若 2x+3y+1＝√2，則 4x^2 +9y^2 +1 +12xy -4x -6y之值為？

2.若 x^2 +xy -6y^2 +6x +28y +k 可分解為兩個x、y的一次因式的乘積，則k＝？

3.若 2x^2 +3x +a 與 2x^3 -3x^2 -3x +2 有一次公因式，求a=?

4.多項式 9x^3 +24x^2 +19x +4=(x+1)(ax+b)(cx+d)，設b>d，則 a=? d=?

5.（1）因式分解 x^2 +xy -2y^2 -2x +5y -3=_____
（2）設 x+y-2=0，則 x^2 +2xy +y^2 -2x -2y -3 之值＝_____
（3）若 2x^2 +5xy +ay^2 +7x +8y +6=(2x+y+k)(x+2y+2)，則a+k=?

6.設 x、y 均不為零，且 3x^2 +xy -2y^2=0，則x:y的比值為＝？

7. 2x+5y=√3 + √5，4y-x=√5 - √3，則 2x^2 -3xy -20y^2 之值為？

 

雙十字交乘法：

1. x^2 -8xy +15y^2 +2x -4y -3

2. 2a^2 -2b^2 -c^2 +3ab +3bc -ac

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因式分解--要化成最簡式

因式分解
（1）x^4 - 2(a^2+b^2)x^2 + (a^2-b^2)^2
（2）(a^2-b^2)x^2 + 4abx - (a^2-b^2)
（3）ax^3 - (a-b)x^2 + (a-b)x - a
（4）x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 10x - 15
（5）acx^2 +(bc-ad)x -bd
（6）2xy^2 +xy -3x -y^2 +2y -1
（7）x^2 -xy -2y^2 -3y -1
（8）5a^3b -30ab^3 -5a^2b^2
（9）380 -(a+b)(a+b+1)
（10）2(x^2 +2x +1)^2 - (x^2+2x) -7
（11）(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)-15x^2
（12）(x^2 -x -6)(x^2 +3x -4)+24
（13）(xy-1)(x-1)(y+1)-xy

引用來源連結

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1509103007552

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乘法公式因式分解

乘法公式因式分解

 1. 4x^2 + y^2 - a^2 - b^2 + 4xy + 2ab
2. ( a^2 + b^2 - c^2 - d^2 )^2 - 4( ab + cd )^2
3. x^2y^2 - x^2 - 4y^2 - 2xy + 9
4. 4( 1 - b^2 - ab ) - a^2
5. x^4 + 64

十字交乘因式分解：
1. 4x - 1 + 12x^2
2. bx^2 + 4bx - 21b
3. 10x^3y - 3x^2y^2 -18xy^3
4. (x-4)(x+5) - 42
5. (x+2)^2 + x - 18
6. (x^2-7x+5)^2 - 3x^2 + 21x - 19
7. (a^2 - b^2)x^2 + 4abxy - (a^2 -b^2)y^2
8. 2(a+b)^2 + 5(b^2-a^2) - 12(a-b)^2
9. (x^2+5x+7)(x^2+7x+7)- 3x^2
10. (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -24
11. (x^2 - 5x - 6)(x^2 - 9x -6) + 4x^2
12. x^2y - 5xy +6y -x^2 +4x -4
13. x^2 -8xy +15y^2 +2x -4y -3
14. 2a^2 -2b^2 -c^2 +3ab +3bc -ac

1.求[1- (1/2^2)][1-(1/3^2)][1-(1/4^2)]...[1-(1/100^2)]=?

2.設 x、y、z 為實數，且 x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z +14 = 0，求 x + 2y + 3z 之值=?

引用來源

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