一元非一次方程式觀念解析

1.無理方程式  ∛(x+1)+∛(x+2)+∛(x+3)=0的實根有幾個?

2.設x,y滿足(x+y)/x=y/(x+y),則x,y必須(a)二者皆實數(b)二者皆非實數(c)二者之一為實數,另一非實數(d)至少有一為實數(e)至少有一非實數

Q1:(3x+2)/(x^2-4)=(x+6)/(x^2-4),請問分母一樣的多項式可約分嗎?

Q2:(2x+1)/(x-1)(x+2)=(2x+1)/(x-3)(x-4),請問分子一樣的多項式可約分嗎?

Q3:(3x-1)/(9x^2-1)=(x+2)/(3x+1)(x+2)又該如何約分?

原連結

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(1)公式:(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc

(∛(x+1)+∛(x+2)+∛(x+3))((∛(x+1)^2++∛(x+2)^2+∛(x+3)^2-∛(x+1)∛(x+2)-.......)=0

所以
x+1 + x+2 + x+3 - 3 ∛(x+1)∛(x+2)∛(x+3)=0

得 3x+6 = 3
∛(x+1)∛(x+2)∛(x+3)

x+2 = ∛(x+1)∛(x+2)∛(x+3)

(x+2
)^3=(x+1)(x+2)(x+3)

x= - 2 一個實根

(2) (x+y)/x=y/(x+y), (x+y)^2=xy

x^2+2xy+y^2=xy, x^2+xy+y^2=0,

D=1-4<0,x/y=(-1+-#3i)/2

若 x為實數,由根的公式知 y 為虛數

若 x 為虛數(例如 i) , y可為
虛數

故選(e)至少有一非實數

 Q1:(3x+2)/(x^2-4)=(x+6)/(x^2-4),請問分母一樣的多項式可約分嗎?

可以, 但是……分母不能為0

即x^2-4<>0, x<>2,-2

3x+2=x+6…….兩邊同乘(x^2-4)

2x=4, x=2

故本題無解

 Q2:(2x+1)/(x-1)(x+2)=(2x+1)/(x-3)(x-4),請問分子一樣的多項式可約分嗎?

不可以約分, 但…..可以提公因式

(2x+1)[1/(x-1)(x+2)-1/(x-3)(x-4)]=0

(2x+1)*(-8x+10)/[(x-1)(x+2)(x-3)(x-4)]=0

x<>1,-2,3,4

x=-1/2,5/4,

 

Q3: (3x-1)/(9x^2-1)=(x+2)/(3x+1)(x+2)又該如何約分?

分子分母可以互約

1/(3x+1)=1/(3x+1)

分母<>0,3x+1<>0, x<>-1/3

化為整式, 兩邊同乘(3x+1)

得1=1之恆等式

x為除了-1/3之外的任意數