[挑戰題]解方程式的根與係數

1)設a^2+b^2=13/18 ,
(1-a)(1-b)=5/36 , 求以a,b為二根之二次方程式=?

2)α,β為2x^2-8x+5=0之二根
, 解方程式α^3+αu+v=0 及β^3+βu+v=0
中的u=? , v=?

原連結

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(1)
a^2+b^2=13/18, (a+b)^2-2ab=13/18
(1-a)(1-b)=5/36,
1-(a+b)+ab=5/36,

令p=a+b, q=ab得1-p+q=5/36,
2-p+2q=5/18
p^2-2q=13/18,

兩式相加得: p^2-2p+2=1, p=1, q=5/36

a,b為二根之二次方程式為
(x-a)(x-b)=0,
x^2-(a+b)x+ab=0
得方程式: x^2-x+5/36=0

第二題
α,β為2x^2-8x+5=0之二根 , 解方程式及中的u=? , v=?
α+β=4, αβ=5/2,
為兩正根

α^3+αu+v=0……………(1)
β^3+βu+v=0……………(2)

α^3+β^3=(α+β)^3-3αβ(α+β)=64-3*5/2*4=34

(1)+(2):
α^3+β^3+(α+β)u+2v=0
2u+v=-17…………..(3)

(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ=6
α-β=+-√６,
α-β=√６代入α^3-β^3=(α-β)^3+3αβ(α-β)
=(√６)^３+３*５/２*√６

(1)-(2):
α^3-β^3+(α-β)u=0
(√６)^３+３*５/２*√６+√６ｕ=０[α-β=-√６代入答案相同]

6+15/2+u=0,
u=-27/2
代入(3): v=10

答: u=-27,v=10