奧林匹克競試題目

奧林匹克競試題目

1.有一種足球是由32快黑白相間的牛皮縫製而成,黑皮為正五邊形,白皮為正六邊形,且邊長都相等,則白皮的塊數是多少?

2.已知兩個自然數的和是60,其最大公因數與最小公倍數之和是84,,求這兩個自然數是多少?

 

3.設A.B兩個數都只含有質因數3和5,他們的最大公因數是75,已知A有12個因數,B有10個因數,那麼A.B兩數的和等於多少?

4.設a.b兩個不相等的自然數,如果他們的最小公倍數是72,那麼a.b的和可以有幾種不同的值?

 

5.從0~10這十個數中選出五個不同的數字組成一個五位數,使它能被3.5.7.13整除,這個數最大值是多少?

6.整數64具有被他的個位數所整除的性質,試問在10和50之間有幾個整數具有這種性質?

 

7.在某沙漠地帶,汽車每天能行駛200千米,每輛汽車載運可行駛24天的汽油,現有甲 乙兩車,同時從A地出發,並在完成任務後沿原路返回,為了讓甲車盡可能開出更遠距離,已再行使一段路程後,僅留足自己返回A地的汽油,將其他的汽油讓給甲車,問甲車能開的最遠距離是多少?

8.請問有一個數列如下:1,2,4,6,a,12,16,b,22 ,請找出其規律，並求出a,b的值。

 

9.寫出3個小於10的自然數,使他們3個數中有2個數的最大公因數為1,其餘每2個一組的最大公因數皆大於一?

10.有11個連續整數,第10個數是第2個數的13/9倍,請問這11個數的和為何?

 

11.在某年的5月份,有5個星期5,而他們的日期數字的和等於80,請問這個月的第1天是星期幾?

 

12.3個直數的倒數之和為41/42,請問這3個質數之和為何?

引用來源

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參考過程如下, 請指教
(1)設五邊形黑色x塊
則共有(5x)/3+x=32........黑邊有5白,每個白被重覆算3次, 所以除以3
x=12,  32-12=20
Ans: 白皮有20塊
 
(2)最大公因數=和與小倍的最大公因數
設大因為k, 令兩數a=pk, b=qk, p,q互質
k=(60,84)=12,
因a+b=60, 則p+k=5, 因k+kpq=84, 則1+pq=7
符合上述整數解為p=2,q=3, 則兩數為24,36
Ans:兩數為24,36

(3)A=3^m*5^n, 有12個因數,12=4*3.....指數+1相乘
    B=3^p*5^q, 有10個因數,10=2*5
75=A=3*5^2;則m,p中有一數為1, n,q中有一數為2
比較得p=1, q=4, m=3, n=2
得A=675, B=1875, A+B=2550
Ans: 2550

(4)72=2^3*3^2, 有因數(3+1)(2+1)=12........指數加1相乘
但要扣除72這個大因,
因為72=大因=小倍時, 兩數相等皆為72,
故12-1=11種
Ans:11種

(5)
Sol: 98765.............五個相異數字的最大五位數
3,5,7,13都能整除, 求3,5,7,13之倍數
[3,5,7,13]=1365......先算小倍
98765/1365=72餘485, 最大數為98765-485=98280.....不合, 數字要相異
較98280小的1365倍數依序為96915, 95550...............不合
94185....................BINGO
Ans:94185

(6)
Sol: 10~50之間,
末數為1, 2, 5, 0者一定可以:共4*4-1=15個............因不含10與50
其它用檢查的
末數為3者有:33 共1個
末數為4者有:24,44 共2個
末數為6者有:36 共1個
末數為7者有:(從缺)共0個
末數為8者有:48 共1個
末數為9者有:(從缺)共0個
共15+1+2+1+0+1+0=20個
Ans:20個

(7)看不懂題目

(8)數列:1,2,4,6,a,12,16,b,22(之前剛回答一位網友)
 規則為: 連續質數-1
連續質數:2,3,5,7,11,13,17,19,23
各項減一:1,2,4,6,10,12,16,18,22
Ans: a=10,b=18

(9)4=2^2,9=3^2,6=2,3
(4,9)=1就是互質啦, (4,6)=2>1, (6,9)=3>1 
Ans:4,6,9

(10)設第二數為x, 第十數為13/9x,
13/9x-x=8...............第十個與第二個連續整數相差8
x=18
第二數為18, 第一數為17,第十數為18+8=26, 最後一數為27
總和為(17+27)*11/2=242
Ans:242

(11)五個等差數列和為80
中項為80/5=16, 第一個為16-7-7=2......5月2號為星期五
本月一號為星期四
Ans: 星期四

(12)質數當分母, 最小公倍數為三數相乘
42=2*3*7
質數和為2+3+7=12
Ans: 12