[挑戰]國中方程式

(1)若a^3=3a+3,則a^5=?
(2)設x+1/x=-1,則x^100+1/x^100=?

(3)設每一個正整數中,數字n恰出現n次(n=1,2,3,4,5,6,7,8,9),
則稱此正整數為(自我描述數)。
例如:212是一個三位自我描述數，1333是一個四位自我描述數，
則五位自我描述數共有幾個?

(4)n是將正整數由1開始依序寫上的200位數，即n=123456789101112......，
則n除以9的餘數是?

(5)0 < x<1，
若a=&radic;(x^2+1/x^2+2)+&radic;(x^2+1/x^2-2)，
b=&radic;(4x^2+1/x^2+4)-&radic;(x^2+1/x^2-2)，則a-b=?

(6)有快慢兩輛火車，已知快車長度為300公尺，慢車長度為450公尺，
相向行駛於平行的軌道上，
現在小偉坐在慢車上從窗外看到快車的車頭駛過身旁，
經過10秒之後整輛快車完全通過，
試問坐在快車上的阿良看到慢車從車頭開始，
一直到整輛火車駛過阿良的身旁，所花的時間是?秒

(7)若a+b+c+d+e為完全平方數，a,b,c,d,e為連續的正整數，
b+c+d為完全立方數，則c的最小值為?

(8)6x^2=(2m-1)x+m+1有一根a，已知-2008< a <2008，2/3a為整數；
則m的可能有?個

(9)若滿足不等式8/15<n/(n+k) <7/13的整數k只有一個，
則正整數n的最大值為何?

原連結

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(2)設x+1/x=-1,則x^100+1/x^100=?

x^2+1=-x,
x^2+x+1=0
(x-1)(x^2+x+1)=0,
x^3=1
x^100=x(x^3)^33=x
x^100+1/x^100
=x+1/x
 =-1 

(3)五位自我描述數共有幾個

(a)14444: 其組合有5種

(b)22333:

其組合有1+2+3+4=10種

(c)55555:
其組合有1種

答: 共有16種

(4)n是將正整數由1開始依序寫上的200位數，即n=123456789101112......，
則n除以9的餘數是?
1-9有9個,
共有9位數
10-99有90個,
共有90*2=180位數
200-(9+180)=11….剩下的位數

即n=(123456789)(101112…99)(10010110210)
第一群數字和=9(1+9)/2=45為9的倍數,
除以9餘0
第三群數字和=5+2=7
第二群十位數為10(1+2+3+...+9)=450,
除以9餘0
第二群個位數為9(1+2+3+...+9), 除以9餘0
故答案為7

(5)

a=√(x^2+1/x^2+2)+√(x^2+1/x^2-2)

=√(x+1/x)^2+√(x-1/x)^2-----------x<1/x

=x+1/x+1/x-x

=2/x，



b=√(4x^2+1/x^2+4)-√(x^2+1/x^2-2)

=√(2x+1/x)^2-√(x-1/x)^2

=2x+1/x+x-1/x

=3x

a-b=2/x-3x

 

(6)設兩車相對速度相同

300/10=450/x, x=15

答: 15秒

(7)若a+b+c+d+e為完全平方數，a,b,c,d,e為連續的正整數，

b+c+d，則c的最小值為?

a+b+c+d+e=5c為完全平方數

b+c+d=3c為完全立方數

5c最小為=5x[(5^3)x(3^2)],

3c最小為=3x[(5^3)x(3^2)],

c最小為=(5^3)x(3^2)=1125

 

(8)
6x^2-(2m-1)x-(m+1)=0
D=(2m-1)^2+24(m+1)=(2m+5)^2
x=[2m-1+-(2m+5)]/12=(m+1)/3,
-1/2

a=(m+1)/3

(2/3)[(m+1)/3]=(2m+2)/9為整數
m=(9k-2)/2,
k為整數---------------(1)

-2008<2008
-2008<(m+1)/3<2008
-6023<6025
將(1)代入得:
-6023<(9k-2)/2<6025
-1338.22<1339.11
-1338=<1339
k有2678個

(9)8/15小於n/(n+k)小於7/13
8/15< (n+k)/n>13/7
1+7/8>1+k/n
>1+6/7
7/8> k/n> 6/7
49/56> k/n >48/56
98/112 >k/n
>96/112
k=97, n=112