部分分式

部分分式

題目如下:

f(x)=16x^4-16x^3+12x^2+3=a(2x-1)^4+b(2x-1)^3+c(2x-1)^2+d(2x-1)+e

求abcde之值=?

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f(1)=g(2),f(2)=g(3),f(3)=g(4).....

f(1)=g(2),f(2)=g(3),f(3)=g(4),f(4)=g(5)

令f(x)＝ax^3＋bx^2＋cx＋d，g(x)＝x^3＋2x^2＋3x＋4，
已知f(1)＝g(2)、f(2)＝g(3)、f(3)＝g(4)、f(4)＝g(5)，則(a,b,c,d)＝？

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由f(1)=g(2), f(2)=g(3), f(3)=g(4), f(4)=g(5)

得f(x)=g(x+1)=(x+1)^3+2(x+1)^2+3(x+1)+4

=x^3+3x^2+3x+1+2x^2+4x+2+3x+3+4

=x^3+5x^2+10x+10

(a,b,c,d)=(1,5,10,10)

 

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多項式,一次因式簡驗法

多項式,一次因式簡驗法

Q1.多項式 2x^5 - 17x^4 + 54x^3 - 79x^2 + 52x -12 的一次因式有
(A)x+4 (B)x-2 (C)x-3 (D)2x-3 (E)2x-1
A.(B)(C)(E)
解法
2 - 17 + 54 - 79 + 52 - 12 | 2..........(a)
_+ 4 - 26 + 56 - 46 + 12 |
------------------------------
2 - 13 + 28 - 23 + 6|+ 0
_+ 6 - 21 + 21 - 6|3.................(b)
----------------------
2 - 7 + 7 - 2|+ 0
_+ 2 - 5 + 2|1......................(c)
----------------
2 - 5 + 2|+ 0
_+ 4 - 2|2...........................(d)
-----------
2 - 1 + 0
f(x)=(x-1)(x-2)^2(x-3)(2x-1)

Q.我不懂得是為什麼答案的做法(a)會知道要用2??
且接下了的也要用那個數子??
且能告訴我"詳細"的原因和做法嗎?

Q2.設f(x) = 16x^4 + 8x^3 - 8x^2 + 2x + 1 ，則f(0.501)之近似值
至小數點已下第三位為?
(A)1.992 (B)2.008 (C)-2.008 (D)-1.992 (E)1.551
A.(B)
解法
欲求f(0.501)先將x的多項式化成(x-[1/2])的多項式
f(x) = 16x^4 + 8x^3 - 8x^2 + 2x + 1
= 16(x-[1/2])^4 + 40(x-[1/2])^3 + 28(x-[1/2])^2 + 8(x-[1/2]) +2 .....(a)
f(0.501)=16(0.001)^4 + 40(0.001)^3 + 28(0.001)^2 + 8(0.001)^ + 2 .........(b)
為2+0.008=2.008

Q我不懂(a)的各次方的係數怎麼邊來的
能做一次給我看嗎@@?且在(b)的做法是利用什麼方式才能變成(0.008)??
每次解答都直接寫出來且看其他講義也是，不懂 = =||
我是有想過用綜合除法，但我也不太確定是不是
是否能夠做一次給我看...

 

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(1a)可能的一次因式為x=常數項/最高次項係數

x=(+-1,+-2,+-3,+-4,+-6,+-12)/(+-1,+-2)

x=(+-1,+-2,+-3,+-4,+-6,+-12),
(+-1/2,+-2/2,+-3/2,+-4/2,+-6/2,+-12/2)

扣除重覆的後剩下

x=(+-1,+-2,+-3,+-4,+-6,+-12), (+-1/2,+-3/2)

有可能有因式: (x+1)(x-1)(x+2)(x-2)(x+3)(x-3)(x+4)(x-4)

(x+6)(x-6)(x+12)(x-12)(2x+1)(2x-1)(2x+3)(2x-3)

你看答案全在其中之一呢?

(1b)再來由多項式符號順序, +,-,+,-,+,-得知

x不可能是負數, 因為負數代入, 一定是負數, 無法得到0

有可能有因式: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)(x-12)(2x-1)(2x-3)

(1c)然後從小的開始用綜合除法試除,

你的過程是解答寫法, 假如是我, 會用(x-1)先除看看

整除了, 就繼續試(x-2)….

當多項式次數越來越小就越來越簡單了

做熟後就不用這麼慢了, 以上是分解動作!

 

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若(X+1)^2整除px^10+qx^9+1

多項式除法與空間正射影

Q 1若(X+1)^2整除px^10+qx^9+1 求p,q值為何

Q2 已知空間中四點A(1,1,2)B (2,0,2) C(0,-2,2) D (-1,-1,2)，自四邊形ABCD在平面OAB正射影的面積?

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(1)令(x+1)^2=x^2+2x+1=0, x^2=-2x-1
x^9/(x^2+2x+1)的餘式
=(-2x-1)^4*x=(4x^2+4x+1)^2*x
=(-4x-3)^2*x=(16x^2+24x+9)*x
=(-8x-7)*x=-8x^2-7x
=9x+8

x^9*x/(x^2+2x+1)的餘式
=(9x+8)*x/(x^2+2x+1)的餘式
=(9x^2+8x)
=-10x-9

p(-10x-9)+q(9x+8)+1=0
-10p+9q=0,  -9p+8q+1=0

----->  p=9, q=10

(2)AB_=(1,-1,0), AC_=(-1,-3,0)
ABCD的面積為|AB_xAC_|
=|(0,0,4)|=4

ABCD之法向量為(0,0,1)
OA_=(1,1,2), OB_=(2,0,2), OAB之法量為(-1,-,1)
(0,0,1)(-1,-1,1)=|(0,0,1)|*|(-1,-1,1)|cos(夾角)
1=√3cos(夾角), cos(夾角)=1/√3

ABCD正射影的面積=4/√3=4√3/3

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若A、B、C為方程式X^3-6X^2+10X-7=0 三根

一元三次求行列式

若A、B、R為方程式X^3-6X^2+10X-7=0 三根，
則行列式A B R﹀B R A﹀R A B =

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(1)X^3-6X^2+10X-7=0
由根與係數得: A+B+R=6, AB+BR+RA=10, ABR=7

A^3+B^3+R^3-3ABR= (A+B+R)(A^2+B^2+R^2-AB-BR-RA)
=6*[(A+B+R)^2-3(AB+BR+RA)]=6*(36-30)=36

行列式A B R﹀B R A﹀R A B
=3ABR-(A^3+B^3+R^3)
=-(A^3+B^3+R^3-3ABR)
=-36

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多項式求HCF

多項式求HCF的討論

請問一下因式分解常用公式平常都會用到嗎??
還有不懂的是??最高公因式和最低公倍式這是什麼??
另外H.C.F和L.C.M這是@@"
*********************************************
Q6.以多項式(x2+x+4)除多項(x2+2x+3)3所之餘式為何?

(a)15 (b)3x+15 (c)3x (d)3x-15

　x^2+2x+3=(x^2+x+4)+(x-1)

　(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1
　(x^3-3x^2+3x-1)/(x^2+x+4)

　　　　　　　１－４

　　　　　　　－－－－－－－
　１＋１＋４）１－３＋３－１
　　　　　　　１＋１＋４
　　　　　　　－－－－－－－
　　　　　　　　－４－１－１
　　　　　　　　－４－４－１６
　　　　　　　　－－－－－－－
　　　　　　　　　　＋３＋１５
　因此(x^2+2x+3)^3/(x^2+x+4)的餘式為：3x+15
　答：(b)3x+15
*******************************************************************
關於公式

　x^2+2x+3=(x^2+x+4)+(x-1)
　(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1
　(x^3-3x^2+3x-1)/(x^2+x+4)

為什麼??  這邊我都看不懂 @@" 可以說明詳細一點嗎 ??
Q7.f(x)=x3-4x2+x+6與g(x)=x4-4x3-x2+16x-12之最高公因式(HCF)為
還有這是什麼東東?? 看了題目全部都愣掉了@@"
完全都看不懂 @@" 有哪位高手??詳細說明 ...

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題目求: (x^2+2x+3)^3/(x^2+x+4) 之餘式

假如可以將 (x^2+2x+3)以(x^2+x+4)來表示, 等下就要算餘式就可以了

解答做法:
(x^2+2x+3)/(x^2+x+4)=1............(x-1)------------>只要餘式
(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1
(x^3-3x^2+3x-1)/(x^2+x+4) =?....(3x+15))-------->只要餘式

先打全部都要過程寫給你看如下
(x^2+2x+3)^3/(x^2+x+4)
=[(x^2+x+4)+(x-1)]^3/(x^2+x+4)
=[(x^2+x+4)^3+3(x^2+x+4)^2(x-1)+3(x^2+x+4)(x-1)^2+(x-1)^3]/(x^2+x+4)
=[(x^2+x+4)^2+3(x^2+x+4)(x-1)+3(x-1)^2]+(x^3-3^2+31)/(x^2+x+4)
=[(x^2+x+4)^2+3(x^2+x+4)(x-1)+3(x-1)^2]+(x^3-3x^2+3x-1)/(x^2+x+4)
=[(x^2+x+4)^2+3(x^2+x+4)(x-1)+3(x-1)^2]+(x-4)...........(3x+15)

再把只要餘式過程給你(其它遮掉)
(x^2+2x+3)^3/(x^2+x+4)
=[(x^2+x+4)+   (x-1)]^3/(x^2+x+4)
=[(x^2+x+4)^3+3(x^2+x+4)^2(x-1)+3(x^2+x+4)(x-1)^2+  (x-1)^3]/(x^2+x+4)
=[(x^2+x+4)^2+3(x^2+x+4)(x-1)+3(x-1)^2]+  (x^3-3^2+31)/(x^2+x+4)
=[(x^2+x+4)^2+3(x^2+x+4)(x-1)+3(x-1)^2]+  (x^3-3x^2+3x-1)/(x^2+x+4)
=[(x^2+x+4)^2+3(x^2+x+4)(x-1)+3(x-1)^2]+(x-4)..........  (3x+15)

不然我們換數字解釋, 數字和多項式的原理是一樣的
採左右對照給你看:
(102)^3/7的餘數為?================ (x^2+2x+3)^3/(x^2+x+4)的餘式為?
(1)102=7x14+4 ==只要餘數, 商不要=== x^2+2x+3=(x^2+x+4)+(x-1)

==>算4^3/7的餘數
(2)4^3=64,====================== (x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1
(3)64/7=9…..1 ==只要餘數, 商不要===(x^3-3x^2+3x-1)/(x^2+x+4)=?.....(3x+5)

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