[挑戰]國中方程式

(1)若a^3=3a+3,則a^5=?
(2)設x+1/x=-1,則x^100+1/x^100=?

(3)設每一個正整數中,數字n恰出現n次(n=1,2,3,4,5,6,7,8,9),
則稱此正整數為(自我描述數)。
例如:212是一個三位自我描述數，1333是一個四位自我描述數，
則五位自我描述數共有幾個?

(4)n是將正整數由1開始依序寫上的200位數，即n=123456789101112......，
則n除以9的餘數是?

(5)0 < x<1，
若a=&radic;(x^2+1/x^2+2)+&radic;(x^2+1/x^2-2)，
b=&radic;(4x^2+1/x^2+4)-&radic;(x^2+1/x^2-2)，則a-b=?

(6)有快慢兩輛火車，已知快車長度為300公尺，慢車長度為450公尺，
相向行駛於平行的軌道上，
現在小偉坐在慢車上從窗外看到快車的車頭駛過身旁，
經過10秒之後整輛快車完全通過，
試問坐在快車上的阿良看到慢車從車頭開始，
一直到整輛火車駛過阿良的身旁，所花的時間是?秒

(7)若a+b+c+d+e為完全平方數，a,b,c,d,e為連續的正整數，
b+c+d為完全立方數，則c的最小值為?

(8)6x^2=(2m-1)x+m+1有一根a，已知-2008< a <2008，2/3a為整數；
則m的可能有?個

(9)若滿足不等式8/15<n/(n+k) <7/13的整數k只有一個，
則正整數n的最大值為何?

原連結

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(2)設x+1/x=-1,則x^100+1/x^100=?

x^2+1=-x,
x^2+x+1=0
(x-1)(x^2+x+1)=0,
x^3=1
x^100=x(x^3)^33=x
x^100+1/x^100
=x+1/x
 =-1 

(3)五位自我描述數共有幾個

(a)14444: 其組合有5種

(b)22333:

其組合有1+2+3+4=10種

(c)55555:
其組合有1種

答: 共有16種

(4)n是將正整數由1開始依序寫上的200位數，即n=123456789101112......，
則n除以9的餘數是?
1-9有9個,
共有9位數
10-99有90個,
共有90*2=180位數
200-(9+180)=11….剩下的位數

即n=(123456789)(101112…99)(10010110210)
第一群數字和=9(1+9)/2=45為9的倍數,
除以9餘0
第三群數字和=5+2=7
第二群十位數為10(1+2+3+...+9)=450,
除以9餘0
第二群個位數為9(1+2+3+...+9), 除以9餘0
故答案為7

(5)

a=√(x^2+1/x^2+2)+√(x^2+1/x^2-2)

=√(x+1/x)^2+√(x-1/x)^2-----------x<1/x

=x+1/x+1/x-x

=2/x，



b=√(4x^2+1/x^2+4)-√(x^2+1/x^2-2)

=√(2x+1/x)^2-√(x-1/x)^2

=2x+1/x+x-1/x

=3x

a-b=2/x-3x

 

(6)設兩車相對速度相同

300/10=450/x, x=15

答: 15秒

(7)若a+b+c+d+e為完全平方數，a,b,c,d,e為連續的正整數，

b+c+d，則c的最小值為?

a+b+c+d+e=5c為完全平方數

b+c+d=3c為完全立方數

5c最小為=5x[(5^3)x(3^2)],

3c最小為=3x[(5^3)x(3^2)],

c最小為=(5^3)x(3^2)=1125

 

(8)
6x^2-(2m-1)x-(m+1)=0
D=(2m-1)^2+24(m+1)=(2m+5)^2
x=[2m-1+-(2m+5)]/12=(m+1)/3,
-1/2

a=(m+1)/3

(2/3)[(m+1)/3]=(2m+2)/9為整數
m=(9k-2)/2,
k為整數---------------(1)

-2008<2008
-2008<(m+1)/3<2008
-6023<6025
將(1)代入得:
-6023<(9k-2)/2<6025
-1338.22<1339.11
-1338=<1339
k有2678個

(9)8/15小於n/(n+k)小於7/13
8/15< (n+k)/n>13/7
1+7/8>1+k/n
>1+6/7
7/8> k/n> 6/7
49/56> k/n >48/56
98/112 >k/n
>96/112
k=97, n=112

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cnc要用到的數學

已知道答案的題目求算法
三角型 (ABC) A C 點畫弧該弧半徑= R, 145是直徑

如圖已知 BC = 50 R = 72.5 求 AB
例題:
http://www.wretch.cc/album/show.php?i=i8152032&amp;b=1&amp;f=1785559092&amp;p=6

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[挑戰題]解方程式的根與係數

1)設a^2+b^2=13/18 ,
(1-a)(1-b)=5/36 , 求以a,b為二根之二次方程式=?

2)α,β為2x^2-8x+5=0之二根
, 解方程式α^3+αu+v=0 及β^3+βu+v=0
中的u=? , v=?

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(1)
a^2+b^2=13/18, (a+b)^2-2ab=13/18
(1-a)(1-b)=5/36,
1-(a+b)+ab=5/36,

令p=a+b, q=ab得1-p+q=5/36,
2-p+2q=5/18
p^2-2q=13/18,

兩式相加得: p^2-2p+2=1, p=1, q=5/36

a,b為二根之二次方程式為
(x-a)(x-b)=0,
x^2-(a+b)x+ab=0
得方程式: x^2-x+5/36=0

第二題
α,β為2x^2-8x+5=0之二根 , 解方程式及中的u=? , v=?
α+β=4, αβ=5/2,
為兩正根

α^3+αu+v=0……………(1)
β^3+βu+v=0……………(2)

α^3+β^3=(α+β)^3-3αβ(α+β)=64-3*5/2*4=34

(1)+(2):
α^3+β^3+(α+β)u+2v=0
2u+v=-17…………..(3)

(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ=6
α-β=+-√６,
α-β=√６代入α^3-β^3=(α-β)^3+3αβ(α-β)
=(√６)^３+３*５/２*√６

(1)-(2):
α^3-β^3+(α-β)u=0
(√６)^３+３*５/２*√６+√６ｕ=０[α-β=-√６代入答案相同]

6+15/2+u=0,
u=-27/2
代入(3): v=10

答: u=-27,v=10

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[挑戰題]求方程式係數和根

1)設整係數方程式x^2-2(m+1)x+m^2=0有二整數根,且24<m<84,求m=□

2)設a>0 , b>0
且a^2+b^2=19/9 , (a-1)(b-1)= -1/3 ,
則以a,b為二根之整係數二次方程式=?

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(1)有有理根, 判別式(D)必為完全平方數

D=4(m+1)^2-4m^2=4(2m+1)=2^2(2m+1)



24<m<84, 48<2m<168, 49<2m+1<169

49與169間的完全平方數有: 64,81,100,121,144,

m為整數, 2m+1=81, 121

2m=80,120,   m=40,60

答m=40,60



(2)令a+b=p, ab=q

a^2+b^2=19/9 , (a+b)^2-2ab=19/9, p^2-2q=19/9…………(1)

(a-1)(b-1)= -1/3, ab-a-b+1=-1/3, q-p+1=-1/3....…….…….…(2)

(1)+2*(2):

p^2-2p+2=19/9-2/3

p^2-2p+1=4/9

(p-1)^2=4/9

p=1+-2/3=5/3,1/3

a+b=1/3, 代入(2):q=-1,
不合, 因為a>0,b>0

a+b=5/3, 代入(2):q=1/3

 

則以a,b為兩根之二次方程式為

(x-a)(x-b)=0, x^2-px+q=0,

x^2-5/3x+1/3=0,

得整係數二次方程式 3x^2-5x+1=0

 

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[挑戰題]求有理根與公根的方程式

1)設a∈Z ,若x^2-3x+a=0 ,
2x^2+ax-4=0與ax^2+bx-3=0恰有一公根,則a=□ , b=□

2)設x^2+px+q=0與x^2+qx+p=0僅有一公共根,則其他二非公共根之和=□

3)設f(x)=x^3+6x^2+11x+6
, g(x)=x^3+7x^2+14x+8 , 若實數h , 滿足f(h)*g(h)=0 ,
且f(h)+g(h) ≠0,求h=□

原連結

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參考如下,
請指教
1)
x^2-3x+a=0…………..(1)
2x^2+ax-4=0…………(2)

一次因式檢驗法檢驗(2)

 令f(x)=2x^2+ax-4=0, 可能有+-4, +-2, +-1, +-1/2之解 

f(4)=32+4a-4=0,
a=-7, f(-1/2)=1/2-1/2a-4=0, a=-7,代入(1) 不合

f(-4)=32-4a-4=0,
a=7, f(1/2)=1/2+1/2a-4=0, a=7, 代入(1) 不合
f(2)=8+2a-4=0,
a=-2, f(-1)=2-a-4=0, a=-2, 代入(1) 不合
f(-2)=8-2a-4=0,
a=2, f(1)=2+a-4=0, a=2, 代入(1) 可, 得a=2,

a=2代入(1), x^2-3x+2=0, (x-2)(x-1)=0,
x=2,1
a=2代入(2), 2x^2+2x-4=0, (x+2)(x-1)=0,
x=-2,1
得公根為1

a=2, x=1代入ax^2+bx-3=0,
得2+b-3=0, b=1

答: a=2,
b=1 

2)將兩多項式相減得: (p-q)x-(p-q)=0, x-1=0,
x=1

x^2+px+q=0,
兩根和為-p, 故另一根為-p-1

x^2+qx+p=0, 兩根和為-q, 故另一根為-q-1

則另一根之和:
-p-1-q-1=-p-q-2

答:
-p-q-2 

3)

 f(x)=x^3+6x^2+11x+6=(x+1)(x+2)(x+3)
g(x)=x^3+7x^2+14x+8=(x+1)(x+2)(x+4)

h=-1,-2會使f(h)+g(h) =0,
不合!

h=-3,-4 使f(h)*g(h)=0 , 且f(h)+g(h) ≠0

 答: h = -3,-4

 

mazilla解第一題

Z ,若x^2-3x+a=0 , 2x^2+ax-4=0與ax^2+bx-3=0恰有一公根,則a=□ ,
b=□

令該公根為v，即有
v^2 -3v +a=0...(1)
2v^2 +av -4=0...(2)
av^2 +bv
-3=0...(3)
將(1)代入(2)得
2v^2 +(3v -v^2)v -4=0
v^3 -5v^2 +4
=0
(v-1)(v^2 -4v -4) =0...(4)
由於a&isin;Z，結合(1)和(4)得
v=1，再代入(1)得
a=2
再代入(3)得
b=1

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因式分解解一元五次

因式分解解一元五次
16x^5-20x^3+5x-1=0

原連結

 

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一元非一次方程式觀念解析

1.無理方程式  ∛(x+1)+∛(x+2)+∛(x+3)=0的實根有幾個?

2.設x,y滿足(x+y)/x=y/(x+y),則x,y必須(a)二者皆實數(b)二者皆非實數(c)二者之一為實數,另一非實數(d)至少有一為實數(e)至少有一非實數

Q1:(3x+2)/(x^2-4)=(x+6)/(x^2-4),請問分母一樣的多項式可約分嗎?

Q2:(2x+1)/(x-1)(x+2)=(2x+1)/(x-3)(x-4),請問分子一樣的多項式可約分嗎?

Q3:(3x-1)/(9x^2-1)=(x+2)/(3x+1)(x+2)又該如何約分?

原連結

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(1)公式:(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc

(∛(x+1)+∛(x+2)+∛(x+3))((∛(x+1)^2++∛(x+2)^2+∛(x+3)^2-∛(x+1)∛(x+2)-.......)=0

所以
x+1 + x+2 + x+3 - 3 ∛(x+1)∛(x+2)∛(x+3)=0

得 3x+6 = 3
∛(x+1)∛(x+2)∛(x+3)

x+2 = ∛(x+1)∛(x+2)∛(x+3)

(x+2
)^3=(x+1)(x+2)(x+3)

x= - 2 一個實根

(2) (x+y)/x=y/(x+y), (x+y)^2=xy

x^2+2xy+y^2=xy, x^2+xy+y^2=0,

D=1-4<0,x/y=(-1+-#3i)/2

若 x為實數,由根的公式知 y 為虛數

若 x 為虛數(例如 i) , y可為
虛數

故選(e)至少有一非實數

 Q1:(3x+2)/(x^2-4)=(x+6)/(x^2-4),請問分母一樣的多項式可約分嗎?

可以, 但是……分母不能為0

即x^2-4<>0, x<>2,-2

3x+2=x+6…….兩邊同乘(x^2-4)

2x=4, x=2

故本題無解

 Q2:(2x+1)/(x-1)(x+2)=(2x+1)/(x-3)(x-4),請問分子一樣的多項式可約分嗎?

不可以約分, 但…..可以提公因式

(2x+1)[1/(x-1)(x+2)-1/(x-3)(x-4)]=0

(2x+1)*(-8x+10)/[(x-1)(x+2)(x-3)(x-4)]=0

x<>1,-2,3,4

x=-1/2,5/4,

 

Q3: (3x-1)/(9x^2-1)=(x+2)/(3x+1)(x+2)又該如何約分?

分子分母可以互約

1/(3x+1)=1/(3x+1)

分母<>0,3x+1<>0, x<>-1/3

化為整式, 兩邊同乘(3x+1)

得1=1之恆等式

x為除了-1/3之外的任意數

 

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兩數中較大

問:若有兩整數的和是17，且其平方和是157，則此兩數中較大的數是下列哪一選項?

(A)
11        (B)11或6       (C)11或－6      (D)－11或6

順便跟我說為什麼阿 謝謝 !!

原連結

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設兩數為x, 17-x,
平方和157得: x^2+(17-x)^2=157,

x^2+289-34x+x^2=157
2x^2-34x+132=0,
x^2-17x+66=0,
(x-6)(x-11)=0
x=11,6
答:
兩數中較大的為11 ,選(A) 

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一元一次討論型方程式

甲-----|x^2+4x-5|+2|x-1|=9解根

乙-----√x^2  -  √(5-x^2)   = 
1求實根

丙-----若0<x<2,解x^2-[x^2]=x-[x] 註:[ 
]是高斯符號

丁-----[2x-3]+[5x-7]=11解根

原連結

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(甲)|(x+5)(x-1)|+2|x-1|=9

 
分三組討論x>=1, -5<x<1,
x=<-5時

  a.
x>=1時,

(x+5)(x-1)+2(x-1)=9, x^2+6x-16=0,
(x+8)(x-2)=0, x=2,-8(與假設不合,-8<1)

  b.
-5<x<1時

  x^2+6x+2=0,
x=-3+-根號(7)(負不合,
x=-3-根號(7)<-5)

  c.
x=<-5時

  x^2+2x-12=0,
x=-1+-根號(13)(皆不合,
-1+-根號(13)>-5)

答: x=2,
-3+根號(7) 

(乙)√x^2  - 
√(5-x^2)   =  1

 
√x有解的條件,
x>0; √(5-x^2) 有解的條件,
-√5 <x<√5

得整題有解條件:
0<x<√5

  x -1 
=√(5-x^2) ,兩邊平方得:
x^2-x-2=0

  (x-2)(x+1)=0,
x=2,-1(不符合條件)

答:
x=2

 (丙)
若0<x<2; 分三部份討論

 a. 0<x<1, [x]=0,
[x^2]=0;
   
原式: x^2=x, x=1,0(皆不合,
0<x<1)

b.
1=<x<√2, [x]=1,
[x^2]=1;

   
原式: x^2-1=x-1, x=1,0(0不合,
x>0)

c. √2=<x<2, [x]=1, [x^2]=2;

    原式:
x^2-2=x-1, x=(1+-√5)/2

   
√5約=2.2,
(負不合,正合)

答: x=1,
(1+√5)/2

(丁)先假設求整數解, 2x-3+5x-7=11, 7x=21, x=3

x=3時, [2x-3]=3, [5x-7]=8,
3+8=11
x=3-(表比3小一點…..), 2x-3<3, [2x-3]=2;5x-7<8, [5x-7]=7, 2+7=9,
故無x<3之解
對2x-3而言, x多0.5, [2x-3]就會進1,
對5x-7而言, x多0.2, [5x-7]就會進1,

所以答案在3與3.2之間
答: 3=<x<3.2

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[挑戰題]解一元的方程式

甲. x^6+1=0

乙. x^2-x+3√(2x^2-3x+2)=x/2 
+7

丙. (7-4√3)x^2+(2-√3)x-2=0

原連結1

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甲. 若x^2+(b-3)x+2=0與x^2-bx-1=0有一公共根,求b=?

乙. x|x|-3|x|+2=0,
求根

丙. 公式解ax^2+bx+c=0時,小王算錯b^2-4ac得二根3,-2,小玉看錯b得二根
-5,2,求原方程式及二根正解

丁. 公式解將b^2-4ac看成b^2+4ac解出二根為1/3,-2,求正確二根為何?

原連結2

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甲. x^6+1=0=(x^2+1)(x^4-x^2+1)
x^2+1=0 x=i(複數) 

乙. x^2-x+3√(2x^2-3x+2)=x/2 +7
2x^2-3x+6*(2x^2-3x+2)^0.5-14=0

(2x^2-3x+2)+6*(2x^2-3x+2)^0.5-16=0
令k=(2x^2-3x+2)^0.5
(2x^2-3x+2)+6*(2x^2-3x+2)^0.5-16=k^2+6k-16
=(k+8)(k-2)=0
k=-8或２（負不合）
k^2=4=2x^2-3x+2
2x^2-3x-2=0=(2x+1)(x-2)=0 x=2或-1/2
x^2-x+3√(2x^2-3x+2)=x/2 
+7

丙. (7-4√3)x^2+(2-√3)x-2=0
(2-3^0.5)^2x^2+(2-3^0.5)x-2=0
[(2-3^0.5)x-1][(2-3^0.5)x+2)]=0
x=1/(2-3^0.5)=2+3^0.5
或-2(2+3^0.5)

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參考過程如下,
請指教

(1)設共同根為k,   k^2+(b-3)K+2=0,  
k^2-bk-1=0
   相加消去b, 得: 2k^2-3k+1=0, 
k=1,1/2
   k=1, 代入得: 1-b-1=0,  b=0,  
代入兩式檢驗, 合!
   k=1/2, 代入得: 1/4-1/2b-1=0,  b=-3/2, 代入兩式檢驗, 合!
   b=0, -3/2   答: b=0,
-3/2 

(2)分為x>=0(|x|=x), 與x<0(|x|=-x)討論

   當x>=0時, 原式=x^2-3x+2=0, (x-2)(x-1)=0,
x=2,1

   當x<0時, 原式=-x^2+3x+2=0,

   x=[3+-根號(17)]/2, (正不合, 因假設x<0)

   答 : 當x為正數時, x=2,1 ; 當x為負數時, x=[3-根號(17)]/2

(3)小玉看到的是: (x+5)(x-2)=0, x^2+3x-10=0,
    因看錯b原式為x^2+____x-10=0
    小王看到的是: (x-3)(x+2)=0, x^2-x-6=0, 
    因看錯D, 3-2=1=-b/1, b=-1

    得原式為x^2-x-10=0, x=[1+-根號(41)]/2

    答 : 原方程式x^2-x-10=0, 兩根正解x=[1+-根號(41)]/2

 (4)看到的方程式: (x-1/3)(x+2)=0, 3x^2+5x-2=0, 其中-2是錯的

    原方程式為3x^2+5x+c=0, x=[-5+-根號(25-12c)]/2,

    使較大根為較大解得[-5+-根號(25+12c)]/2=1/3,
    根號(25+12c)=7, c=2,
    原方程式為3x^2+5x+2=0, (3x+2)(x+1)=0,
x=-2/3,-1
    答 :
x=-2/3,-1

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find the function

1. It is given that Q(5,k) is the vertex of the graph of the function
y=-x^2+10x-17.
Find the maximum value of the function

2. It is given
that P(h,6) us the vertex if the graph of the function y=x^2-6x+15

(a).
Find the value of h.
(b). Find the axis of symmetry of the graph

原連結

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1. y= -x^2+10x-17= -(x-5)^2+8,
    vertex(5,8)=Q(5,k),
k=8

2.y=x^2-6x+15=(x-3)^2+6,
   (a)vertex(3,6)=P(h,6), h=3
  
(b)the axis of symmetry of the graph: x-3=0

ps. symmetry<> symmery

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配方法裡開根號的問題

二次方程式中驗證ax2+bx+c=0會等於X=2a分之--b正負根號b2-4ac的算式中,最後的步驟裡
(x+b/2a)^2=b^2-4ac/4a^2
x+b/2a=正負根號b^2-4ac/4a^2
X=-b/2a正負根號b^2-4ac/4a^2
1.(根號4a^2)開根號出來是等於2a嗎?.....這裡我不太懂為什麼會這樣

2.還有就是最後開完根號後是什麼原因會變成答案X=2a分之--b正負根號b2-4a....是因為把2a通分合併嗎?

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根與係數

1.設α、β 為一元二次方程式x^2+3x-2=0的兩根,求：
(1)α+β=?
(2)αxβ=?
(3)α^2+β^2=?
(4)α^4+β^4=?

(5)以3α ;3β為兩根,且x^2之係數為1的一元二次方程式為何？
2.設x的二次方程式x^2-(k-1)x+(k^2+5k-6)=0,求：
(1)恰只有一根為0時,k=?並求另一根
(2)兩根都為0時,k＝？

3.甲、乙兩人同解一個x的二次方程式x^2+bx+c=0,甲用公式求解時,把b^2-4ac算錯了,解得2根為2和-4,乙則看錯x項係數,解得2根為7和-1,他們其他都沒錯誤,求(1)元方程式(2)正確的2根

4.解二次方程式(a-b)x^2+(b-c)x+(c-a)=0,(a-b)&ne;

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求未知數綜合題

找出 X:
1) x/a + x/b = 1

2) (x-m)/(x+n) = (x+n)/(x-m)

3) 1/x = 1/y + 1/z

4) x/a + x/b + x/c =1

5) n=(a-x)/(a+x)

6) (1+x/a)(1/a-x)=(x-a)(1-x/a)

7) C= (nE)/(R+nr),找出 n;

8)E= (FR)/(p+r)d ,找出 r:

引用來源連結

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