若(X+1)^2整除px^10+qx^9+1

多項式除法與空間正射影

Q 1若(X+1)^2整除px^10+qx^9+1 求p,q值為何

Q2 已知空間中四點A(1,1,2)B (2,0,2) C(0,-2,2) D (-1,-1,2)，自四邊形ABCD在平面OAB正射影的面積?

原連結

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(1)令(x+1)^2=x^2+2x+1=0, x^2=-2x-1
x^9/(x^2+2x+1)的餘式
=(-2x-1)^4*x=(4x^2+4x+1)^2*x
=(-4x-3)^2*x=(16x^2+24x+9)*x
=(-8x-7)*x=-8x^2-7x
=9x+8

x^9*x/(x^2+2x+1)的餘式
=(9x+8)*x/(x^2+2x+1)的餘式
=(9x^2+8x)
=-10x-9

p(-10x-9)+q(9x+8)+1=0
-10p+9q=0,  -9p+8q+1=0

----->  p=9, q=10

(2)AB_=(1,-1,0), AC_=(-1,-3,0)
ABCD的面積為|AB_xAC_|
=|(0,0,4)|=4

ABCD之法向量為(0,0,1)
OA_=(1,1,2), OB_=(2,0,2), OAB之法量為(-1,-,1)
(0,0,1)(-1,-1,1)=|(0,0,1)|*|(-1,-1,1)|cos(夾角)
1=√3cos(夾角), cos(夾角)=1/√3

ABCD正射影的面積=4/√3=4√3/3