因式分解: x^3+y^3+z^3-3xyz
X^3 + Y^3 + Z^3- 3XYZ
=(x+y)^3-3x^y-3xy^2+z^3-3xyz
=(x+y)^3+z^3-3x^y-3xy^2-3xyz
=(x+y+z)^3-3(x+y)^2z-3(x+y)z^2-3xy(x+y)-3xyz
=(x+y+z)^3-3[(x+y)^2z+(x+y)z^2+xy(x+y)+xyz]
=(x+y+z)^3-3[(x+y)z(x+y+z)+xy(x+y+z)]
=(x+y+z)^3-3(x+y+z)[(x+y)z+xy]
=(x+y+z)[(x+y+z)^2-3(xz+yz+xy)]
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xz-yz-xy)
(2)在直角座標平面上，直線3y=4x-10上的一點與P(-2，2)之間之最短距離為多少?
自P向直線沿x軸,y軸方向做延長線
交直線於A(-2,-6), B(4,2)
PAB為直角三角形
PA=8, PB=6, BC=10
P至直線最短距=PAB斜邊上的高
=6x8/10=4.8
(3)左側為障礙物
黑色路線為聲波….紅色路線為蝙蝠飛行
兩段黑色總長度為….…340*x秒
下段黑色長度為……….10*0.3秒=3m
紅色長度為…………….10*x秒
0/55+3=35/11公尺
小強在計算
１ １ １ １ １ １ １
－＋－＋－＋－＋－＋－＋－
２ ３ ４ ６ ８ 12 14
，誤將某兩數間的「＋」看成－，若無其他計算的錯誤，且所得合為１，小強是看錯哪兩個樹之間的「＋」號？
原因請附上謝謝 :DDD
若
２ ３
－－和－同時加上甲數後，互為相反數，則甲為？
３ ４
過程參考請指教, 不採用正統列式, 因為有點複雜
1)設原有x人
(x+8)人每天完成1/10……………(1)
(x+3)人每天完成1/20……………(2)
所以(1)的人數是(2)的兩倍
x+8=2(x+3), x=2
代回(1):10人每天完成1/10,
一人天每天完成1/100
4人每天完成4/100=1/25
共需25天
2)(一、二、三)表一、二、三組合作,每天完成工作量
(一、二、三)=1/12------(1)
(一、三、五)=1/7--------(2)
(二、四、五)=1/4-------(3)
(一、三、四)=1/42------(4)
(一、二、三、四、五)
=[(2)*2+(3)+(4)-2*(1)]/3+(1):
=(2/7+1/4+1/42-2/12)/3+1/12
=(11/84)+1/12
=9/28
共需28/9天
1.在直角坐標平面中,直線3y=4x-10上的一點與p(-2,2)之間的最短距離為多少?
2.3.
4.因式分解X^4+7X^3+14X^2+7X+1
(1)由p(-2,2)對直線沿X,Y軸方向交於A(4,2),
B(-2,-6)
得直角三角形PAB, PA=6, PB=8, AB=10
求P至三角形的斜高
=6x8/10=4.8
(4)
三角形的內心、外心、重心
2)故甲乙丙形成正三角形, 邊長15公里
正三角形內外重垂共點
據30-30-120等腰三角形邊長比 1:1:√3
外心至任一點距離=15/√3=5√3
3)正三角形內外重垂共點
(1)GB=OB=OA=8
(2)三角形ABC的周長=?
據30-30-120等腰三角形邊長比
邊長為8√3,
周長8√3*3=24√3
(3)三角形ABC的面積?
正三角形面積公式√3/4*邊長^2
=(8√3)^2*√3/4
=48√3
4.(1)AO=?
設AO=BO=r(外心至三頂點等距)DO=r-3, BD=4
在直角三角形BDO中
r^2=4^2+(r-3)^2
r^2=16+r^2-6r+9
6r=25
r=AO=25/6
國中資優數學題(奧林匹亞)
........................↓上兩根號中
1. 2+√2+√2+√2+...............=?
..................↑上一根號中
2. √(a-x²)=√2 - IxI 有兩相異實根，求a? (a>0)
..........................↑絕對值
3. 甲乙跑圓型操場，甲乙往相反方向跑，當甲乙相遇時，乙跑了160度，
相遇後，甲減速20%，乙加速20%，甲跑完一圈時，乙還差10m，求圓形操場多長?
4. (此處之1.2.3.4.5.6皆是數學中的小1.2.3.4.5.6，就是在X的右下方)
X1，X2，X3，X4，X5，X6皆為整數，X1，X2，X3符合
Xn+3=Xn+2(Xn+1 + 2Xn) (n=1，2，3)
求X1+X2+X3=? X6=2288
5. 有378個正分數，任377個分數相加皆為真分數，且為分母皆是
758之最簡分數，求378個正分數相加總合？
6. a.b.c.d.e 為不同整數且(8-a)(8-b)(8-c)(8-d)(8-e)=245
求a+b+c+d+e=?
7. 求圖中半徑, 如圖
我還在想怎麼改成國中生聽得懂的解法!
某數除以3餘1----
>某數為3的倍數+1
某數再除以5餘2---
>先找出第一個符合兩者要求的
找出上面除以5要餘2的
7/5=1…..2-----
>7符合
某數為[3,5]的倍數+7=某數為15的倍數+7
某數除以 7餘3---
>先找出第一個符合三者要求的
找出上面除以7要餘3的
22/7=3…..1
52/7=7…..3-----
>52符合
某數為[3,5,7]的倍數+52=某數為105的倍數+52
其它為105k+52
三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。
70x1+21x2+15x3-105=52
爬樓梯問題系列4題(香港)
4. 小李到一幢大樓裏辦事,值班人員問他到幾樓辦事,他回答說: 我經常來這裏辦事,我還知道這幢大樓每層之間的樓梯有16級臺階,我從你這裏出發到我辦完事再回到你這裏,共要走96級臺階。"請同學們幫助值班員算一算,小李到這幢大樓的第幾層樓辦事?為什麼?
5. 甲,乙二人比賽爬樓梯,甲跑到4層時,乙恰好跑到3層,照這樣計算,甲跑到16層時,乙跑到幾層?為什麼?
6. 有一高樓,每上一層需要2分鐘,每下一層需要1分鐘30秒。小張於12點開始不停留地從底層往上走,到了最高層後立即往下走(中途沒有停留),13點零3分返回底層。這座高樓一共有多少層?
7. 佳佳從一幢高樓的底層開始登樓,他從第一層到第15層用了7分鐘,他又住上登了幾層後,感到很累就往下走,當他走到第5層時共用了30分鐘。如果佳佳上下樓梯的速度相同,(樓梯轉彎走過道的時間忽略不計)問:佳佳走到第幾層開始往下走?為什麼?
〈再別康橋〉是詩人徐志摩抒發對康橋眷戀情懷之作,
有數學發燒友竟把詩中首兩句編成文字算式謎 :
√(輕輕的) = √我 +
走了
正 - 如 / 我 = √(輕輕的) / √來
不同文字對應不同阿拉伯數字,你能破譯出來嗎?
√(輕輕的) = √我 + 走了
正 - 如 / 我 = √(輕輕的) / √來
在10^2 - 31^2,
只有225及441是開頭兩數字覆
如果是441, 則21 = √我 + 走了
其中 我 = 1^2, 2^2 或3^2,由於1,4已用，我=9 => √我 = 3,則走了 = 18重覆了1
如果是225, 則15 = √我 + 走了
√我 = 3 => 走了 = 12重覆了2
√我 = 1 => 走了 = 14重覆了1
√我 = 2 => 走了 = 13; 我 = 4
正 - 如 / 4 = √225 / √來
來餘下可能性是1及9
√來 = 1=> √225 / √來 = 15兩位數不合
√來
= 3=>
√225 / √來
=
5
正
-
如
/ 4 =
5
如果如 = 0 => 正=5 (重覆)
如 = 8 =>正 = 7
√(225) = √4 + 13
7 -
8 / 4 =
√(225) / √9
數學歸納法證明4題
1.1‧2^2 +2‧3^2+3‧4^2+......+n(n+1)^2= n(n+1)(n+2)(3n+5)/12
【證明】:
-----------------------------------------------------------------------------
2.1/1+1/(1+2)+......1/(1+2+.....+n)=2n/(n+1)
【證明】:
-------------------------------------------------------------------------
3.n^3+(n+1)^3+(n+2)^3是9的倍數
【證明】:
----------------------------------------------------------------------------
4.對於任意大於或等於3的正整數n，5^n>3^n+4^n成立。
【證明】:
原連結
1.1‧2^2 +2‧3^2+3‧4^2+......+n(n+1)^2= n(n+1)(n+2)(3n+5)/12
【證明】:
1)n=1時, 左式=1(2)^2=4, 右式=1‧2‧3‧8/12=4, ∴原式成立
2)假設n=k時, 命題成立
即1‧2^2 +2‧3^2+3‧4^2+......+k(k+1)^2= k(k+1)(k+2)(3k+5)/12
則1‧2^2 +2‧3^2+3‧4^2+......+k(k+1)^2+(k+1)(k+2)^2
= k(k+1)(k+2)(3k+5)/12+(k+1)(k+2)^2=(k+1)(k+2) [k(3k+5)+12(k+2)] /12
=(k+1)(k+2) [3k^2+5k+12k+24] /12= (k+1)(k+2) [3k^2+17k+24] /12
= (k+1)(k+2) (k+3) (3k+8) /12= (k+1)(k+2) (k+3)[3(k+1)+5] /12
∴n=k+1時, 命題也成立
3)由1),2)及數學歸納法, 命題成立!
----------------------------------------------------------------------------
2.1/1+1/(1+2)+......1/(1+2+.....+n)=2n/(n+1)
【證明】:
1)n=1時, 左式=1/1=1, 右式=2‧1/(1+1)=1 ∴原式成立
2)假設n=k時, 命題成立
即1/1+1/(1+2)+......1/(1+2+.....+k)=2k/(k+1)
則1/1+1/(1+2)+......1/(1+2+.....+k)+1/(1+2+…+k+k+1)
=2k/(k+1) +1/(1+2+…+k+k+1)
=2k/(k+1) +1/[(1+k+1)(k+1)/2]=2k/(k+1) +2/[(k+1)(k+2)]
= [2k(k+2)+2]/[(k+1)(k+2)]= (2k^2+4k+2)/[(k+1)(k+2)]
= 2(k+1)^2/[(k+1)(k+2)]=2(k+1)/(k+1+1)
∴n=k+1時, 命題也成立
3)由1),2)及數學歸納法, 命題成立!
-------------------------------------------------------------------------
3.n^3+(n+1)^3+(n+2)^3是9的倍數
【證明】:
1)n=1時, 左式=1+8+27=36=9*4, 是9的倍數, ∴原式成立
2)假設n=k時, 命題成立
令k^3+(k+1)^3+(k+2)^3=9p, p為自然數
則(k+1)^3+(k+2)^3+(k+3)^3=(k+1)^3+(k+2)^3+k^3+9k^2+27k+27
=[ k^3+ (k+1)^3+(k+2)^3]+ +9k^2+27k+27
=9p+9(k^2+3k+3)=9(p+ k^2+3k+3)是9的倍數
∴n=k+1時, 命題也成立
3)由1),2)及數學歸納法, 命題成立!
-----------------------------------------------------------------------------
4.對於任意大於或等於3的正整數n，5^n>3^n+4^n成立。
【證明】:
1)n=3時, 左式=5^3=125>3^3+4^3=27+64=91=右式 ∴原式成立
2)假設n=k時, 命題成立
即5^k>3^k+4^k
則5^(k+1)=5(5^k)>5(3^k+4^k)=5x3^k+5x4^k>3x3^k+4x4^k=3^(k+1)+4^(k+1)
∴n=k+1時, 命題也成立
3)由1),2)及數學歸納法, 命題成立!
AMC平均數問題
設五個相異正整數的平均數是15 ，中位數是 18，則此五個正整數中的最大者可能之最大值為________。
五個相異正整數的平均數是15,總數是5 * 15 = 75
小於18的有二個,最小可能是1及2
大於18的也有二個,較小的一個最小是19,
此五個正整數中的最大者可能之最大值為75 - 1 - 2 - 18 - 19 = 35
三角函數恆等式七題
直式開平方法
我記得以前有學一種類似直式除法模式的計算過程
來快速求出一個數的開根號
大概是以小數點前2個位數為一個單位依序來做除法
好像是補習班老師敎的
學校老師好像只會敎用逼近法來求
為何要乘20?-----------------因為乘法公式
令a為10位數, b為個位數
(10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2
其中100-------------------兩位要分一組的原因
其中a^2-------------------第一組中找最接近的完全平方數的理由
此時得商為a
20a------------------------商要乘以20的原因
(20a+b)b-----------------這是加多少就要乘以多少的原因
=20ab+b^2
同理三位數亦同(100a+10b+c)^2......................
正好我的國中數學科展是直式開立方法.......
1.若數列an前n項(n大於等於2)的=2^(n+1)(n^2 -2n)求an? 答2^n(n^2-3)
2.在等比數列an中a1=1,a4=2-根號5,an+2=an+1+an(n>1)求公比?答2分之1- 根號5
3.設a1+2a2+3a3+到nan=n平方+2n n大於等於1 求an? 答n分之2n+1
4.設a b均為正數 2a+4b=9 則a b最大值? 此時a,b=? 答:9/4,9/8
5.下列哪一選項極限值為0? (注:底下有n箭頭無限符號,省略)
A lim2004的2004次方乘0.99括號的n次方
B lim n乘根號2004的2004次方
C lim n乘根號2003的負n次方+2004的負n次方
D lim2004的n次方+2003的n次方分之2003的n次方 E lim根號1+2+到n分之n 答ＡD
6.設a b為實數 2的1次方分之1 + 2的平方分之b + 2的3次方分之a + 2的4次方分之b+到2的n-1次方分之a + 2的n次方分之b+到......=3 則2a+b? 答9
7.求1/2+2/4+3/8+...+第10項之和 答: 509/256
8.已知n為自然數,求(1+3/1)(1+ 5/4)(1+7/9)...(1+ (2n+1)/(n^2)=?
用數學歸納法証明之 答n+1括號平方
9.數列2分之1 3分之1 3分之2 4分之1 4分之2 4分之3....中 求99分之78為第幾項?答 4831
10.a b c 為正整數 且0小於a小於b小於c小於9 若0.a(a循環)+0.1b(b循環)=0.2c(c循環), 且a, b, c 等差,求a b c ? 答1 2 3
11.設三實數成等差 其積81 第一項的2倍 第二項的3分之2 第3項的4分之1成等比 求此三數6 2分之9 3
12.無窮級數 1+(2x-1)/3 +[(2x-1)/3]^2+[(2x-1)/3]^3+...收斂其和?我想問 x的範圍如何分辨有無等號 答4-2x分之3 X範圍負1小於x小於2
13.1+2+2平方+2的3次方+...+2的5n-1次方為質數31的倍數 用數學歸納法証之
14.已知n為自然數 求證 9的n-1次方-8n-9為64的倍數
15.C1單位圓半徑是1 T1是C1內接正三角形 C2是T1接內切圓 T2為C2內接正三角形 以此類推 令ai 表 Ti的面積 求西格瑪ai 注 i=1 上方有無限符號
