2009年12月5日 星期六
某國中段考 因式分解
(1) x^4+6x^3-x^2-30x+25
(2) x^3-6x^2+3x+10
(3) 2a^2+2b^2+3c^2+5ab-5bc-7ac
這幾題是在某家國中的月考考卷看到的，
(2) x^3-6x^2+3x+10
(3) 2a^2+2b^2+3c^2+5ab-5bc-7ac
這幾題是在某家國中的月考考卷看到的，
因式分解不外乎：提公因式法、分組分解、公式解等等。
可是這些方法在這幾題好像都用不上，請問各位數學高手，
該如何因式分解？
原連結
(1) x^4+6x^3-x^2 -30x+25...........拆項
=x^4+6x^3+9x^2-10x^2 -30x+25
=x^2(x^2+6x+9)-10x(x+3)+25
=[x(x+3)]^2-10x(x+3)+25........和平方乘法公式
=[x(x+3)-5]^2
=(x^2+3x-5)^2
***亦可直接用三數和平方公式
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
(2) x^3-6x^2 +3x+10..............拆項
=x^3-5x^2-x^2 +3x+10
=x^2(x-5)-(x^2-3x-10)
=x^2(x-5)-(x-5)(x+2)
=(x-5)(x^2-x-2)
=(x+1)(x-2)(x-5)
***或用一次因式檢驗f(-1)=0, 有x+1之因式
(3) 2a^2+2b^2+3c^2+5ab-5bc-7ac
=(2a+b)(a+2b)-c(7a+5b)+3c^2...........十字交乘
=(2a+b-c)(a+2b-3c)
[挑戰]因式分解 X^10+X^5+1
因式分解: X^10+X^5+1
X^10+X^5+1
用因式檢驗法,
令x=w代入
w^10+w^5+1=w+w^2+1=0
故有x^2+x+1之因式
x^10+x^5+1
=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)
**w=(-1+-√3i)/2
用因式檢驗法,
令x=w代入
w^10+w^5+1=w+w^2+1=0
故有x^2+x+1之因式
x^10+x^5+1
=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)
**w=(-1+-√3i)/2
國中生可用以下解法
x^10+x^5+1
=x^10+x^9+x^8-(x^9+x^8+x^7)+(x^7+x^6+x^5)
-(x^6+x^5+x^4)+(x^5+x^4+x^3)
-(x^3+x^2+x)+(x^2+x+1)
=x^8(x^2+x+1)-x^7(x^+x+1)+x^5(x^2+x+1)
-x^4(x^2+x+1)+x^3(x^2+x+1)-x(x^2+x+1)
+(x^2+x+1)
=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)
x^10+x^5+1
=x^10+x^9+x^8-(x^9+x^8+x^7)+(x^7+x^6+x^5)
-(x^6+x^5+x^4)+(x^5+x^4+x^3)
-(x^3+x^2+x)+(x^2+x+1)
=x^8(x^2+x+1)-x^7(x^+x+1)+x^5(x^2+x+1)
-x^4(x^2+x+1)+x^3(x^2+x+1)-x(x^2+x+1)
+(x^2+x+1)
=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)
巴克球有20個六邊形 及 12個五邊形
為何巴克球有20個六邊形 及
12個五邊形
他說數學算的出來
他之後有跟我們講用數學大師 尤拉的點線面原理可以算
(點+面)-2=線
假設有 m個正 五
邊形(黑色), n個正 六 邊形(白色)在球面上。
根據尤拉公式：V - E + F =
2，V代表頂點的數目，
E代表邊的數目，F代表面的數目。
因為三個邊共用一個頂點，所以 V= (5m+6n)/3。
因為二個面共用一個邊，所以
E=(5m+6n)/2。
而且 F= m+n。
V - E + F = 2，(5m+6n)/3-(5m+6n)/2+ m+ n =
2，
所以 m = 12，因此有 12 塊黑色正五 邊形。
邊形(黑色), n個正 六 邊形(白色)在球面上。
根據尤拉公式：V - E + F =
2，V代表頂點的數目，
E代表邊的數目，F代表面的數目。
因為三個邊共用一個頂點，所以 V= (5m+6n)/3。
因為二個面共用一個邊，所以
E=(5m+6n)/2。
而且 F= m+n。
V - E + F = 2，(5m+6n)/3-(5m+6n)/2+ m+ n =
2，
所以 m = 12，因此有 12 塊黑色正五 邊形。
又每塊黑色正 五
邊形旁邊有 5 塊白色正 六邊形，
而每塊白色正六邊形周邊又連接 3 塊黑色正五 邊形，
因此白色正六邊形共有 12 5 3 =
20個，
所以有 20
塊白色正六邊形。
昌爸工作坊http://www.mathland.idv.tw/fun/football.htm
2009年12月4日 星期五
sigma(k^3)證明
sigma(k^3)證明
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+...+n^3
=[n(1+n)/2]^2
=(1+2+3+4+5+6+...+n)^2
我想知道除了歸納法之外還有沒有其它的證明的方法呢？
所為的歸納法就是
1~2
1^3+2^3=1+8
(1+2)^2=3^2
========================(分隔線)
1~3
1^3+2^3+3^3=1+8+27
(1+2+3)^2=6^2
========================(分隔線)
1~4
1^3+2^3+3^3+4^3=1+8+27+64
(1+2+3+4)^2=10^2
========================(分隔線)
[挑戰]國中方程式
(1)若a^3=3a+3,則a^5=?
(2)設x+1/x=-1,則x^100+1/x^100=?
(3)設每一個正整數中,數字n恰出現n次(n=1,2,3,4,5,6,7,8,9),
則稱此正整數為(自我描述數)。
例如:212是一個三位自我描述數，1333是一個四位自我描述數，
則五位自我描述數共有幾個?
(4)n是將正整數由1開始依序寫上的200位數，即n=123456789101112......，
則n除以9的餘數是?
(5)0 < x<1，
若a=√(x^2+1/x^2+2)+√(x^2+1/x^2-2)，
b=√(4x^2+1/x^2+4)-√(x^2+1/x^2-2)，則a-b=?
(6)有快慢兩輛火車，已知快車長度為300公尺，慢車長度為450公尺，
相向行駛於平行的軌道上，
現在小偉坐在慢車上從窗外看到快車的車頭駛過身旁，
經過10秒之後整輛快車完全通過，
試問坐在快車上的阿良看到慢車從車頭開始，
一直到整輛火車駛過阿良的身旁，所花的時間是?秒
(7)若a+b+c+d+e為完全平方數，a,b,c,d,e為連續的正整數，
b+c+d為完全立方數，則c的最小值為?
(8)6x^2=(2m-1)x+m+1有一根a，已知-2008< a <2008，2/3a為整數；
則m的可能有?個
(9)若滿足不等式8/15<n/(n+k) <7/13的整數k只有一個，
則正整數n的最大值為何?
(2)設x+1/x=-1,則x^100+1/x^100=?
(3)設每一個正整數中,數字n恰出現n次(n=1,2,3,4,5,6,7,8,9),
則稱此正整數為(自我描述數)。
例如:212是一個三位自我描述數，1333是一個四位自我描述數，
則五位自我描述數共有幾個?
(4)n是將正整數由1開始依序寫上的200位數，即n=123456789101112......，
則n除以9的餘數是?
(5)0 < x<1，
若a=√(x^2+1/x^2+2)+√(x^2+1/x^2-2)，
b=√(4x^2+1/x^2+4)-√(x^2+1/x^2-2)，則a-b=?
(6)有快慢兩輛火車，已知快車長度為300公尺，慢車長度為450公尺，
相向行駛於平行的軌道上，
現在小偉坐在慢車上從窗外看到快車的車頭駛過身旁，
經過10秒之後整輛快車完全通過，
試問坐在快車上的阿良看到慢車從車頭開始，
一直到整輛火車駛過阿良的身旁，所花的時間是?秒
(7)若a+b+c+d+e為完全平方數，a,b,c,d,e為連續的正整數，
b+c+d為完全立方數，則c的最小值為?
(8)6x^2=(2m-1)x+m+1有一根a，已知-2008< a <2008，2/3a為整數；
則m的可能有?個
(9)若滿足不等式8/15<n/(n+k) <7/13的整數k只有一個，
則正整數n的最大值為何?
(2)設x+1/x=-1,則x^100+1/x^100=?
x^2+1=-x,
x^2+x+1=0
(x-1)(x^2+x+1)=0,
x^3=1
x^100=x(x^3)^33=x
x^100+1/x^100
=x+1/x
=-1
x^2+1=-x,
x^2+x+1=0
(x-1)(x^2+x+1)=0,
x^3=1
x^100=x(x^3)^33=x
x^100+1/x^100
=x+1/x
=-1
(3)五位自我描述數共有幾個
(a)14444: 其組合有5種
(b)22333:
其組合有1+2+3+4=10種
(c)55555:
其組合有1種
答: 共有16種
(a)14444: 其組合有5種
(b)22333:
其組合有1+2+3+4=10種
(c)55555:
其組合有1種
答: 共有16種
(4)n是將正整數由1開始依序寫上的200位數，即n=123456789101112......，
則n除以9的餘數是?
1-9有9個,
共有9位數
10-99有90個,
共有90*2=180位數
200-(9+180)=11….剩下的位數
即n=(123456789)(101112…99)(10010110210)
第一群數字和=9(1+9)/2=45為9的倍數,
除以9餘0
第三群數字和=5+2=7
第二群十位數為10(1+2+3+...+9)=450,
除以9餘0
第二群個位數為9(1+2+3+...+9), 除以9餘0
故答案為7
則n除以9的餘數是?
1-9有9個,
共有9位數
10-99有90個,
共有90*2=180位數
200-(9+180)=11….剩下的位數
即n=(123456789)(101112…99)(10010110210)
第一群數字和=9(1+9)/2=45為9的倍數,
除以9餘0
第三群數字和=5+2=7
第二群十位數為10(1+2+3+...+9)=450,
除以9餘0
第二群個位數為9(1+2+3+...+9), 除以9餘0
故答案為7
(5)
a=√(x^2+1/x^2+2)+√(x^2+1/x^2-2)
=√(x+1/x)^2+√(x-1/x)^2-----------x<1/x
=x+1/x+1/x-x
=2/x，
b=√(4x^2+1/x^2+4)-√(x^2+1/x^2-2)
=√(2x+1/x)^2-√(x-1/x)^2
=2x+1/x+x-1/x
=3x
a-b=2/x-3x
a=√(x^2+1/x^2+2)+√(x^2+1/x^2-2)
=√(x+1/x)^2+√(x-1/x)^2-----------x<1/x
=x+1/x+1/x-x
=2/x，
b=√(4x^2+1/x^2+4)-√(x^2+1/x^2-2)
=√(2x+1/x)^2-√(x-1/x)^2
=2x+1/x+x-1/x
=3x
a-b=2/x-3x
(6)設兩車相對速度相同
300/10=450/x, x=15
答: 15秒
(7)若a+b+c+d+e為完全平方數，a,b,c,d,e為連續的正整數，
b+c+d，則c的最小值為?
a+b+c+d+e=5c為完全平方數
b+c+d=3c為完全立方數
5c最小為=5x[(5^3)x(3^2)],
3c最小為=3x[(5^3)x(3^2)],
c最小為=(5^3)x(3^2)=1125
300/10=450/x, x=15
答: 15秒
(7)若a+b+c+d+e為完全平方數，a,b,c,d,e為連續的正整數，
b+c+d，則c的最小值為?
a+b+c+d+e=5c為完全平方數
b+c+d=3c為完全立方數
5c最小為=5x[(5^3)x(3^2)],
3c最小為=3x[(5^3)x(3^2)],
c最小為=(5^3)x(3^2)=1125
(8)
6x^2-(2m-1)x-(m+1)=0
D=(2m-1)^2+24(m+1)=(2m+5)^2
x=[2m-1+-(2m+5)]/12=(m+1)/3,
-1/2
a=(m+1)/3
(2/3)[(m+1)/3]=(2m+2)/9為整數
m=(9k-2)/2,
k為整數---------------(1)
-2008<2008
-2008<(m+1)/3<2008
-6023<6025
將(1)代入得:
-6023<(9k-2)/2<6025
-1338.22<1339.11
-1338=<1339
k有2678個
6x^2-(2m-1)x-(m+1)=0
D=(2m-1)^2+24(m+1)=(2m+5)^2
x=[2m-1+-(2m+5)]/12=(m+1)/3,
-1/2
a=(m+1)/3
(2/3)[(m+1)/3]=(2m+2)/9為整數
m=(9k-2)/2,
k為整數---------------(1)
-2008<2008
-2008<(m+1)/3<2008
-6023<6025
將(1)代入得:
-6023<(9k-2)/2<6025
-1338.22<1339.11
-1338=<1339
k有2678個
(9)8/15小於n/(n+k)小於7/13
8/15< (n+k)/n>13/7
1+7/8>1+k/n
>1+6/7
7/8> k/n> 6/7
49/56> k/n >48/56
98/112 >k/n
>96/112
k=97, n=112
8/15< (n+k)/n>13/7
1+7/8>1+k/n
>1+6/7
7/8> k/n> 6/7
49/56> k/n >48/56
98/112 >k/n
>96/112
k=97, n=112
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