2009年11月12日 星期四
多項式求HCF
多項式求HCF的討論
請問一下因式分解常用公式平常都會用到嗎??
還有不懂的是??最高公因式和最低公倍式這是什麼??
另外H.C.F和L.C.M這是@@"
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Q6.以多項式(x2+x+4)除多項(x2+2x+3)3所之餘式為何?
還有不懂的是??最高公因式和最低公倍式這是什麼??
另外H.C.F和L.C.M這是@@"
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Q6.以多項式(x2+x+4)除多項(x2+2x+3)3所之餘式為何?
(a)15 (b)3x+15 (c)3x (d)3x-15
x^2+2x+3=(x^2+x+4)+(x-1)
(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1
(x^3-3x^2+3x-1)/(x^2+x+4)
１－４
－－－－－－－
１＋１＋４）１－３＋３－１
１＋１＋４
－－－－－－－
－４－１－１
－４－４－１６
－－－－－－－
＋３＋１５
因此(x^2+2x+3)^3/(x^2+x+4)的餘式為：3x+15
答：(b)3x+15
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關於公式
x^2+2x+3=(x^2+x+4)+(x-1)
(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1
(x^3-3x^2+3x-1)/(x^2+x+4)
為什麼?? 這邊我都看不懂 @@" 可以說明詳細一點嗎 ??
Q7.f(x)=x3-4x2+x+6與g(x)=x4-4x3-x2+16x-12之最高公因式(HCF)為
還有這是什麼東東?? 看了題目全部都愣掉了@@"
完全都看不懂 @@" 有哪位高手??詳細說明 ...
原連結
題目求: (x^2+2x+3)^3/(x^2+x+4) 之餘式
假如可以將 (x^2+2x+3)以(x^2+x+4)來表示, 等下就要算餘式就可以了
解答做法:
(x^2+2x+3)/(x^2+x+4)=1............(x-1)------------>只要餘式
(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1
(x^3-3x^2+3x-1)/(x^2+x+4) =?....(3x+15))-------->只要餘式
先打全部都要過程寫給你看如下
(x^2+2x+3)^3/(x^2+x+4)
=[(x^2+x+4)+(x-1)]^3/(x^2+x+4)
=[(x^2+x+4)^3+3(x^2+x+4)^2(x-1)+3(x^2+x+4)(x-1)^2+(x-1)^3]/(x^2+x+4)
=[(x^2+x+4)^2+3(x^2+x+4)(x-1)+3(x-1)^2]+(x^3-3^2+31)/(x^2+x+4)
=[(x^2+x+4)^2+3(x^2+x+4)(x-1)+3(x-1)^2]+(x^3-3x^2+3x-1)/(x^2+x+4)
=[(x^2+x+4)^2+3(x^2+x+4)(x-1)+3(x-1)^2]+(x-4)...........(3x+15)
再把只要餘式過程給你(其它遮掉)
(x^2+2x+3)^3/(x^2+x+4)
=[(x^2+x+4)+ (x-1)]^3/(x^2+x+4)
=[(x^2+x+4)^3+3(x^2+x+4)^2(x-1)+3(x^2+x+4)(x-1)^2+ (x-1)^3]/(x^2+x+4)
=[(x^2+x+4)^2+3(x^2+x+4)(x-1)+3(x-1)^2]+ (x^3-3^2+31)/(x^2+x+4)
=[(x^2+x+4)^2+3(x^2+x+4)(x-1)+3(x-1)^2]+ (x^3-3x^2+3x-1)/(x^2+x+4)
=[(x^2+x+4)^2+3(x^2+x+4)(x-1)+3(x-1)^2]+(x-4).......... (3x+15)
不然我們換數字解釋, 數字和多項式的原理是一樣的
採左右對照給你看:
(102)^3/7的餘數為?================ (x^2+2x+3)^3/(x^2+x+4)的餘式為?
(1)102=7x14+4 ==只要餘數, 商不要=== x^2+2x+3=(x^2+x+4)+(x-1)
==>算4^3/7的餘數
(2)4^3=64,====================== (x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1
(3)64/7=9…..1 ==只要餘數, 商不要===(x^3-3x^2+3x-1)/(x^2+x+4)=?.....(3x+5)
2009年11月11日 星期三
圓周長的證明
圓周長的證明
之前剛開始學極限的時候,課本有這一段
lim x→0 (sinx/x) = 1
並且利用這式子推導出圓面積的公式
所以我在想,那圓周長的公式也可以推導的出來嗎?
可以!一定可以!可是我沒方向,哪位高人可以賜教一下.
我想你是指利用"圓內接無限正n邊形"來證明吧?
半徑 r 的圓,其周長=2πr
<i>假設此圓內接正n邊形邊長為 s ,利用餘弦定理↓
s^2 = r^2 + r^2 - 2*r*r*cos(2π/n) = r^2 [ 2 - 2cos(2π/n) ]
=> s = r*√[ 2 - 2cos(2π/n) ]
=> s = r*√[ 2 - 2cos(2π/n) ] * {√[ 2 + 2cos(2π/n) ] / √[ 2 + 2cos(2π/n) ]}
=> s = r*√[4 - 4cos^2(2π/n) ] / √[ 2 + 2cos(2π/n) ]
=> s = r*2*sin(2π/n) / √[ 2 + 2cos(2π/n) ]
=>圓周長S = lim n→∞ n*s
lim n→∞ n*r*2*sin(2π/n) / √[ 2 + 2cos(2π/n) ]
先看分母√[ 2 + 2cos(2π/n) ]的部分, n→∞ 時會等於2,先和分子中的2約掉
剩下lim n→∞ n*r*sin(2π/n)
= r*lim (2π/n)→0 [2π*sin(2π/n) / (2π/n)]
= 2πr
[挑戰題]解方程式的根與係數
1)設a^2+b^2=13/18 ,
(1-a)(1-b)=5/36 , 求以a,b為二根之二次方程式=?
2)α,β為2x^2-8x+5=0之二根
, 解方程式α^3+αu+v=0 及β^3+βu+v=0
中的u=? , v=?
原連結
(1-a)(1-b)=5/36 , 求以a,b為二根之二次方程式=?
2)α,β為2x^2-8x+5=0之二根
, 解方程式α^3+αu+v=0 及β^3+βu+v=0
中的u=? , v=?
原連結
(1)
a^2+b^2=13/18, (a+b)^2-2ab=13/18
(1-a)(1-b)=5/36,
1-(a+b)+ab=5/36,
令p=a+b, q=ab得1-p+q=5/36,
2-p+2q=5/18
p^2-2q=13/18,
兩式相加得: p^2-2p+2=1, p=1, q=5/36
a,b為二根之二次方程式為
(x-a)(x-b)=0,
x^2-(a+b)x+ab=0
得方程式: x^2-x+5/36=0
第二題
α,β為2x^2-8x+5=0之二根 , 解方程式及中的u=? , v=?
α+β=4, αβ=5/2,
為兩正根
α^3+αu+v=0……………(1)
β^3+βu+v=0……………(2)
α^3+β^3=(α+β)^3-3αβ(α+β)=64-3*5/2*4=34
(1)+(2):
α^3+β^3+(α+β)u+2v=0
2u+v=-17…………..(3)
(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ=6
α-β=+-√６,
α-β=√６代入α^3-β^3=(α-β)^3+3αβ(α-β)
=(√６)^３+３*５/２*√６
(1)-(2):
α^3-β^3+(α-β)u=0
(√６)^３+３*５/２*√６+√６ｕ=０[α-β=-√６代入答案相同]
6+15/2+u=0,
u=-27/2
代入(3): v=10
答: u=-27,v=10
[挑戰題]求方程式係數和根
1)設整係數方程式x^2-2(m+1)x+m^2=0有二整數根,且24<m<84,求m=□
2)設a>0 , b>0
且a^2+b^2=19/9 , (a-1)(b-1)= -1/3 ,
則以a,b為二根之整係數二次方程式=?
(1)有有理根, 判別式(D)必為完全平方數
D=4(m+1)^2-4m^2=4(2m+1)=2^2(2m+1)
24<m<84, 48<2m<168, 49<2m+1<169
49與169間的完全平方數有: 64,81,100,121,144,
m為整數, 2m+1=81, 121
2m=80,120, m=40,60
答m=40,60
(2)令a+b=p, ab=q
a^2+b^2=19/9 , (a+b)^2-2ab=19/9, p^2-2q=19/9…………(1)
(a-1)(b-1)= -1/3, ab-a-b+1=-1/3, q-p+1=-1/3....…….…….…(2)
(1)+2*(2):
p^2-2p+2=19/9-2/3
p^2-2p+1=4/9
(p-1)^2=4/9
p=1+-2/3=5/3,1/3
a+b=1/3, 代入(2):q=-1,
不合, 因為a>0,b>0
a+b=5/3, 代入(2):q=1/3
則以a,b為兩根之二次方程式為
(x-a)(x-b)=0, x^2-px+q=0,
x^2-5/3x+1/3=0,
得整係數二次方程式 3x^2-5x+1=0
[挑戰題]求有理根與公根的方程式
1)設a∈Z ,若x^2-3x+a=0 ,
2x^2+ax-4=0與ax^2+bx-3=0恰有一公根,則a=□ , b=□
2)設x^2+px+q=0與x^2+qx+p=0僅有一公共根,則其他二非公共根之和=□
3)設f(x)=x^3+6x^2+11x+6
, g(x)=x^3+7x^2+14x+8 , 若實數h , 滿足f(h)*g(h)=0 ,
且f(h)+g(h) ≠0,求h=□
原連結
參考如下,
請指教
1)
x^2-3x+a=0…………..(1)
2x^2+ax-4=0…………(2)
一次因式檢驗法檢驗(2)
令f(x)=2x^2+ax-4=0, 可能有+-4, +-2, +-1, +-1/2之解
f(4)=32+4a-4=0,
a=-7, f(-1/2)=1/2-1/2a-4=0, a=-7,代入(1) 不合
f(-4)=32-4a-4=0,
a=7, f(1/2)=1/2+1/2a-4=0, a=7, 代入(1) 不合
f(2)=8+2a-4=0,
a=-2, f(-1)=2-a-4=0, a=-2, 代入(1) 不合
f(-2)=8-2a-4=0,
a=2, f(1)=2+a-4=0, a=2, 代入(1) 可, 得a=2,
a=2代入(1), x^2-3x+2=0, (x-2)(x-1)=0,
x=2,1
a=2代入(2), 2x^2+2x-4=0, (x+2)(x-1)=0,
x=-2,1
得公根為1
a=2, x=1代入ax^2+bx-3=0,
得2+b-3=0, b=1
答: a=2,
b=1
2)將兩多項式相減得: (p-q)x-(p-q)=0, x-1=0,
x=1
x^2+px+q=0,
兩根和為-p, 故另一根為-p-1
x^2+qx+p=0, 兩根和為-q, 故另一根為-q-1
則另一根之和:
-p-1-q-1=-p-q-2
答:
-p-q-2
3)
f(x)=x^3+6x^2+11x+6=(x+1)(x+2)(x+3)
g(x)=x^3+7x^2+14x+8=(x+1)(x+2)(x+4)
h=-1,-2會使f(h)+g(h) =0,
不合!
h=-3,-4 使f(h)*g(h)=0 , 且f(h)+g(h) ≠0
答: h = -3,-4
mazilla解第一題
Z ,若x^2-3x+a=0 , 2x^2+ax-4=0與ax^2+bx-3=0恰有一公根,則a=□ ,
b=□
令該公根為v，即有
v^2 -3v +a=0...(1)
2v^2 +av -4=0...(2)
av^2 +bv
-3=0...(3)
將(1)代入(2)得
2v^2 +(3v -v^2)v -4=0
v^3 -5v^2 +4
=0
(v-1)(v^2 -4v -4) =0...(4)
由於a∈Z，結合(1)和(4)得
v=1，再代入(1)得
a=2
再代入(3)得
b=1
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