三角形垂心證明(HK)

In ΔABC, AB=AC=13 and BC=10. P is a point on BC with BP<PC, and H,K are
the orthocentres of ΔAPB and ΔAPC respectively. If HK=2, find PC.

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your steps with suitable diagram(s)

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[挑戰]中點,平分證平行

三角形ABC, D在AB邊上, E在AC邊上, F在BC邊上
AF交DE於O, O是DE中點, OB是角DOF平分線, OC是角EOF平分線
證==>DE平行BC

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五邊形求角度, 四邊相等, 已知三角, 求剩餘角(hk)

In pentagon ABCDE, AB=BC=CD=DE, ∠B = 96˚ and ∠C=∠D=108˚. Find ∠E.

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證 兩邊夾一互補角之三角形面積相等

 

如附圖，三角形ABC中邊AB=2、邊AC=3，甲、乙、丙分別表示以AB、BC、CA為邊的正方形。則圖中三個陰影部分面積的和的最大值是__________。

http://tw.myblog.yahoo.com/jw!jcVKbV.UFRkfOpvb8t5t/article?mid=16&amp;amp;prev=-1&amp;next=12

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上△=2x3xsin(夾角)
=2x3xsin(360-90-90-∠ABC)
=2x3xsin(180-∠ABC)
=2x3xsin(∠ABC)=△ABC

同理;
左△=△ABC,
右△=△ABC

三個陰影面積=上△+左△+右△
=3△ABC=3(1/2)(2)(3)sin(∠ABC)
=9sin(∠ABC)
當∠ABC=90度時,

有最大值9  

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數學IQ題

1. 如圖，點B、D相距9cm，F、E相距5cm。求兩個圓的直徑。     

2. 麥克家買了一套新別墅，麥克爸爸打算在他花園中種21棵樹     

使其形成12條直線，每條直線上有5棵樹。你能給他提供一

個合適的方案以滿足這個要求嗎？

3. 試在123456789九個數字之間放置數學符號，然後得出的結果是100。要求：符號盡可能少。可以把幾個數字連在一起用。

4. 兩列火車同時出發，一列由A地到B地，一列由B地到A地。如果他們在相遇後分別再用1小時和4小時到達各自目的地，那麼，兩列火車的速度之比是多少。

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(1)
設小圓圓心O, 兩直線交叉點C
大圓半徑R,
小圓半徑r
CD+CO=r
R-9+R-r=r
2(R-r)=9…………….(1)
R=(2r+9)/2………..(2)
三角形CEO中,
EC=R-5,
CO=R-r=9/2
OE^2=EC^2+CO^2
r^2=(9/2)^2+(R-5)^2
r^2=81/4+(r-1/2)^2
r^2=81/4+r^2-r+1/4
r=82/4=41/2
2r=41
代入(2):
R=25, 2R=50

(3)找出只用三個符號的
123-45-67+89

(4)設甲乙原速比a:b(a>b) 

相會時距離比ar,br

甲再走1小時到達br/a=1,
br=a, b=a/r….(1)

乙再走4小時到達ar/b=4,
ar=4b……......(2)

 (1)代入ar=4b=4(a/r),

ar^2=4a,
r^2=4, r=2(-2不合)

代入(2):
2a=4b, a:b=2:1

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x+1/y = y+1/z = z+1/w = w+1/x = t(hk)

x+1/y=y+1/z=z+1/w=w+1/x =t(香港)

Let x,y,z,w be different positive real numbers such that x+1/y = y+1/z = z+1/w = w+1/x = t. Find the value of t.

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[挑戰]級數hk

香港級數問題 

Let {x_n} be a sequence of positive real number, If x₁ = 3/2 and x_n+1² – x_n² = 1/(n+2)² – 1/n² for all positive integers n, find x₁ + x₂ + x₃ + … + x₂₀₀₈

(xn+1)^2 – xn^2 = 1/(n+2)^2 – 1/n^2 

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