你有沒有吃過維他命?
醫生告訴你要定時飯前吃還是飯後吃?
可不可以星期天, 一次吃七顆?
為甚麼不行? 有害嗎?
喔! 只是沒效!
對啦! 練習數學也一樣!
要每天練習, 不要一週撥一次做!
因為......那樣沒效的!
2009年12月6日 星期日
整數上不可分定理
整數上不可分定理
因式分解x^7+x+1
此多項式在整數上不可約
先證明
若degf(x)=n，存在2n+1個不同的整數m使得|f(m)|為質數，
則f(x)在整數上不可約
[設f(x)可約成g(x)h(x)
則設r=degg(x),s=degh(x) r+s=n
g(x)=1最多有r的根，g(x)=-1最多也有r個根
h(x)=1最多有s的根，h(x)=-1最多也有s個根
所以|g(x)|=1和|h(x)|=1最多有2(r+s)=2n個根
但是
|f(m)|=|g(m)h(m)|為質數，必有|g(m)|=1或|h(m)|=1
m有2n+1個 與上述最多2n個矛盾
故f(x)在整數上不可約]
所以我用程式算出
f(x)=x^7+x+1
當x=1,2,15,21,27,49,76,83,91,96,-1,-6,-9,-28,-32,-40,-100,....時f(x)為質數
正負100之間找到17個(大於2*7+1=15個)
所以f(x)=x^7+x+1在整數上不可約
這是我在做數學題目裡的一個習題
我只是拿他來應用而已
所以 我也不知道是甚麼定理
我只是拿他來應用而已
所以 我也不知道是甚麼定理
2009年12月5日 星期六
某國中段考 因式分解
(1) x^4+6x^3-x^2-30x+25
(2) x^3-6x^2+3x+10
(3) 2a^2+2b^2+3c^2+5ab-5bc-7ac
這幾題是在某家國中的月考考卷看到的，
(2) x^3-6x^2+3x+10
(3) 2a^2+2b^2+3c^2+5ab-5bc-7ac
這幾題是在某家國中的月考考卷看到的，
因式分解不外乎：提公因式法、分組分解、公式解等等。
可是這些方法在這幾題好像都用不上，請問各位數學高手，
該如何因式分解？
原連結
(1) x^4+6x^3-x^2 -30x+25...........拆項
=x^4+6x^3+9x^2-10x^2 -30x+25
=x^2(x^2+6x+9)-10x(x+3)+25
=[x(x+3)]^2-10x(x+3)+25........和平方乘法公式
=[x(x+3)-5]^2
=(x^2+3x-5)^2
***亦可直接用三數和平方公式
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
(2) x^3-6x^2 +3x+10..............拆項
=x^3-5x^2-x^2 +3x+10
=x^2(x-5)-(x^2-3x-10)
=x^2(x-5)-(x-5)(x+2)
=(x-5)(x^2-x-2)
=(x+1)(x-2)(x-5)
***或用一次因式檢驗f(-1)=0, 有x+1之因式
(3) 2a^2+2b^2+3c^2+5ab-5bc-7ac
=(2a+b)(a+2b)-c(7a+5b)+3c^2...........十字交乘
=(2a+b-c)(a+2b-3c)
[挑戰]因式分解 X^10+X^5+1
因式分解: X^10+X^5+1
X^10+X^5+1
用因式檢驗法,
令x=w代入
w^10+w^5+1=w+w^2+1=0
故有x^2+x+1之因式
x^10+x^5+1
=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)
**w=(-1+-√3i)/2
用因式檢驗法,
令x=w代入
w^10+w^5+1=w+w^2+1=0
故有x^2+x+1之因式
x^10+x^5+1
=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)
**w=(-1+-√3i)/2
國中生可用以下解法
x^10+x^5+1
=x^10+x^9+x^8-(x^9+x^8+x^7)+(x^7+x^6+x^5)
-(x^6+x^5+x^4)+(x^5+x^4+x^3)
-(x^3+x^2+x)+(x^2+x+1)
=x^8(x^2+x+1)-x^7(x^+x+1)+x^5(x^2+x+1)
-x^4(x^2+x+1)+x^3(x^2+x+1)-x(x^2+x+1)
+(x^2+x+1)
=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)
x^10+x^5+1
=x^10+x^9+x^8-(x^9+x^8+x^7)+(x^7+x^6+x^5)
-(x^6+x^5+x^4)+(x^5+x^4+x^3)
-(x^3+x^2+x)+(x^2+x+1)
=x^8(x^2+x+1)-x^7(x^+x+1)+x^5(x^2+x+1)
-x^4(x^2+x+1)+x^3(x^2+x+1)-x(x^2+x+1)
+(x^2+x+1)
=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)
巴克球有20個六邊形 及 12個五邊形
為何巴克球有20個六邊形 及
12個五邊形
他說數學算的出來
他之後有跟我們講用數學大師 尤拉的點線面原理可以算
(點+面)-2=線
假設有 m個正 五
邊形(黑色), n個正 六 邊形(白色)在球面上。
根據尤拉公式：V - E + F =
2，V代表頂點的數目，
E代表邊的數目，F代表面的數目。
因為三個邊共用一個頂點，所以 V= (5m+6n)/3。
因為二個面共用一個邊，所以
E=(5m+6n)/2。
而且 F= m+n。
V - E + F = 2，(5m+6n)/3-(5m+6n)/2+ m+ n =
2，
所以 m = 12，因此有 12 塊黑色正五 邊形。
邊形(黑色), n個正 六 邊形(白色)在球面上。
根據尤拉公式：V - E + F =
2，V代表頂點的數目，
E代表邊的數目，F代表面的數目。
因為三個邊共用一個頂點，所以 V= (5m+6n)/3。
因為二個面共用一個邊，所以
E=(5m+6n)/2。
而且 F= m+n。
V - E + F = 2，(5m+6n)/3-(5m+6n)/2+ m+ n =
2，
所以 m = 12，因此有 12 塊黑色正五 邊形。
又每塊黑色正 五
邊形旁邊有 5 塊白色正 六邊形，
而每塊白色正六邊形周邊又連接 3 塊黑色正五 邊形，
因此白色正六邊形共有 12 5 3 =
20個，
所以有 20
塊白色正六邊形。
昌爸工作坊http://www.mathland.idv.tw/fun/football.htm
2009年12月4日 星期五
sigma(k^3)證明
sigma(k^3)證明
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+...+n^3
=[n(1+n)/2]^2
=(1+2+3+4+5+6+...+n)^2
我想知道除了歸納法之外還有沒有其它的證明的方法呢？
所為的歸納法就是
1~2
1^3+2^3=1+8
(1+2)^2=3^2
========================(分隔線)
1~3
1^3+2^3+3^3=1+8+27
(1+2+3)^2=6^2
========================(分隔線)
1~4
1^3+2^3+3^3+4^3=1+8+27+64
(1+2+3+4)^2=10^2
========================(分隔線)
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