[挑戰題]求方程式係數和根

1)設整係數方程式x^2-2(m+1)x+m^2=0有二整數根,且24<m<84,求m=□

2)設a>0 , b>0
且a^2+b^2=19/9 , (a-1)(b-1)= -1/3 ,
則以a,b為二根之整係數二次方程式=?

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(1)有有理根, 判別式(D)必為完全平方數

D=4(m+1)^2-4m^2=4(2m+1)=2^2(2m+1)



24<m<84, 48<2m<168, 49<2m+1<169

49與169間的完全平方數有: 64,81,100,121,144,

m為整數, 2m+1=81, 121

2m=80,120,   m=40,60

答m=40,60



(2)令a+b=p, ab=q

a^2+b^2=19/9 , (a+b)^2-2ab=19/9, p^2-2q=19/9…………(1)

(a-1)(b-1)= -1/3, ab-a-b+1=-1/3, q-p+1=-1/3....…….…….…(2)

(1)+2*(2):

p^2-2p+2=19/9-2/3

p^2-2p+1=4/9

(p-1)^2=4/9

p=1+-2/3=5/3,1/3

a+b=1/3, 代入(2):q=-1,
不合, 因為a>0,b>0

a+b=5/3, 代入(2):q=1/3

 

則以a,b為兩根之二次方程式為

(x-a)(x-b)=0, x^2-px+q=0,

x^2-5/3x+1/3=0,

得整係數二次方程式 3x^2-5x+1=0

 

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[挑戰題]求有理根與公根的方程式

1)設a∈Z ,若x^2-3x+a=0 ,
2x^2+ax-4=0與ax^2+bx-3=0恰有一公根,則a=□ , b=□

2)設x^2+px+q=0與x^2+qx+p=0僅有一公共根,則其他二非公共根之和=□

3)設f(x)=x^3+6x^2+11x+6
, g(x)=x^3+7x^2+14x+8 , 若實數h , 滿足f(h)*g(h)=0 ,
且f(h)+g(h) ≠0,求h=□

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參考如下,
請指教
1)
x^2-3x+a=0…………..(1)
2x^2+ax-4=0…………(2)

一次因式檢驗法檢驗(2)

 令f(x)=2x^2+ax-4=0, 可能有+-4, +-2, +-1, +-1/2之解 

f(4)=32+4a-4=0,
a=-7, f(-1/2)=1/2-1/2a-4=0, a=-7,代入(1) 不合

f(-4)=32-4a-4=0,
a=7, f(1/2)=1/2+1/2a-4=0, a=7, 代入(1) 不合
f(2)=8+2a-4=0,
a=-2, f(-1)=2-a-4=0, a=-2, 代入(1) 不合
f(-2)=8-2a-4=0,
a=2, f(1)=2+a-4=0, a=2, 代入(1) 可, 得a=2,

a=2代入(1), x^2-3x+2=0, (x-2)(x-1)=0,
x=2,1
a=2代入(2), 2x^2+2x-4=0, (x+2)(x-1)=0,
x=-2,1
得公根為1

a=2, x=1代入ax^2+bx-3=0,
得2+b-3=0, b=1

答: a=2,
b=1 

2)將兩多項式相減得: (p-q)x-(p-q)=0, x-1=0,
x=1

x^2+px+q=0,
兩根和為-p, 故另一根為-p-1

x^2+qx+p=0, 兩根和為-q, 故另一根為-q-1

則另一根之和:
-p-1-q-1=-p-q-2

答:
-p-q-2 

3)

 f(x)=x^3+6x^2+11x+6=(x+1)(x+2)(x+3)
g(x)=x^3+7x^2+14x+8=(x+1)(x+2)(x+4)

h=-1,-2會使f(h)+g(h) =0,
不合!

h=-3,-4 使f(h)*g(h)=0 , 且f(h)+g(h) ≠0

 答: h = -3,-4

 

mazilla解第一題

Z ,若x^2-3x+a=0 , 2x^2+ax-4=0與ax^2+bx-3=0恰有一公根,則a=□ ,
b=□

令該公根為v，即有
v^2 -3v +a=0...(1)
2v^2 +av -4=0...(2)
av^2 +bv
-3=0...(3)
將(1)代入(2)得
2v^2 +(3v -v^2)v -4=0
v^3 -5v^2 +4
=0
(v-1)(v^2 -4v -4) =0...(4)
由於a&isin;Z，結合(1)和(4)得
v=1，再代入(1)得
a=2
再代入(3)得
b=1

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0.9小數循環等於1嗎

0.9小數循環等於1嗎

一般人都會承認0.3小數循環=1/3，0.6小數循環=2/3，

且0.9小數循環應等於0.3小數循環+0.6小數循環，亦即等於

1/3+2/3=1，所以得出0.9小數循環等於1的道理

或是1/3=0.3小數循環，又1/3x3=1，即0.3小數循環x3=0.9小數循環

所以0.9小數循環會等於1

難道，0.9小數循環是會等於1嗎？或是有其他說明解釋？

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(1).我們先重從除法運算來分析：
1=9÷9
=0…9，即商的個位數為0
=90÷9
=9…9，商的小數第一位為9
=90÷9
=9…9，商的小數第二位為9
=90÷9
=9…9，商的小數第三位為9
=90÷9
=9…9，商的小數第四位為9
=90÷9
=9…9，商的小數第五位為9
…
如此無限地除下去，我們都可以得到下一位的小數為9
意即：0.9小數循環等於1

(2)我們由極限的觀念來分析：
令An=1－1/(10^n)，n為自然數
則
A1=1－1/10=1－0.1=0.9
A2=1－1/100=1－0.01=0.99
A3=1－1/1000=1－0.001=0.999
A3=1－1/10000=1－0.0001=0.9999
…
(由此模式，我們知道：在n->∞時，An所呈現的狀態即為0.9小數無限循環)
我們來看，n->∞時，An的極限值：
lim_An
n->∞
=lim_1－1/(10^n)
n->∞
=1－1/(10^∞)
=1－1/∞(因為10^∞，等於∞)
=1－0(因為1/∞，等於0)
=1

由(1)、(2)故知：0.9小數循環等於1

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多項式運算的次數

多項式運算的次數

設A為三次多項式 , B為二次多項式 , 則下列敘述何者正確 ?

(A) A+B= 五次多項式
(B) A-B = 一次多項式
(C) AxB = 五次多項次
(D) A / B= 一次多項式

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首先要先知道多項式的觀念:
若為x的多項式,則x不能出現在分母,絕對值,根號裡面
A為三次多項式 , B為二次多項式
A/B能整除才是一次多項式
不能整除,就已經不是多項式了

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等差等比數列

請問

1.已知等差數列&amp;lt;ak&amp;gt;中,a7=41,a11=65
則a21=____?

2.已知等比數列&amp;lt;ak&amp;gt;的每一項都是正數,且a3=9 , a5=4
則a9=____?

3.已知一個等比數列&amp;lt;ak&amp;gt;a4=16,a6=64
則a1+a2a+.....+a10=____?

4.(1) 1~100之間
是3的倍數或5的倍數的有幾個?
(2)其總和是多少?

5.有一正數等比數列,設第n項為an, 若a4=5,a16=320
且an&amp;gt;20000,
則n之最小值是?

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參考如下,
請指教

 1.等差數列,a7=41,a11=65
則a21=____?
d=(65-41)/(11-7)=6,
a21=a11+(21-11)d=65+60=125

2.等比數列的每一項都是正數,且a3=9
, a5=4 則a9=____?
等比數列的每兩項亦成等差,
所以
每兩項公比r'=4/9
a3=9 , a5=4,   a7=4*4/9, a9=4*(4/9)^2= 64/81

3.等比數列a4=16,a6=64
則a1+a2a+.....+a10=____?
a4=ar^3=16,a6=ar^5=64 , r^2=4,  r=+-2
ar^3=16,
r=2時, a=2; r=-2時, a=-2
a=2,  r=2時, S10=2(2^10-1)/(2-1)= 2046
a=-2,
r=-2時, S10=-2[(-2)^10-1]/(-2-1)=682

4.(1)
1~100之間 是3的倍數或5的倍數的有幾個?
 3的倍數有[99/3]= 33個, 由3~99
 5的倍數有[99/5]= 19個,
由5~95
15的倍數有[99/15]=6個, 由15~90
33+19-6=46(個)

(2)其總和是多少?
(3+99)*33/2+(5+95)*19/2-(15+90)*6/2
=
1683+950-315 =2318

5.一正數等比數列,設第n項為an,
若a4=5,a16=320
且an>20000, 則n之最小值是?
a4=ar^3=5, a16=ar^15=320,

r^12=320/5=64,  r=√2,
an=a4*r^(n-4)>20000, 5*r^(n-4)>20000,

r^(n-4)>4000
2^12=4096>4000, 2^12=(#2)^24=(#2)^(28-4), n=28

題目有些亂碼, 不知與我想的是否一樣
*****根據現行小學課本
(1)包含的有 : 以上, 以下
不包含的有: 超過, 未滿, 之間
國中也是這樣,
高中我就不確定了!

(2)不過, 小學這樣教, 高中那樣教, 不是很奇怪嗎?
連我們幾個回答的大大都搞不清楚,
小學生如何搞清楚?
其實高中題很少這樣出, 它會限定的很明確!
如 大於, 小於等於, 或
開閉區間!

(3)所以假如題目非出~~~之間, 就是不包含!

嚴格講是這樣啦! 有時要看題目水準!

及出題者對台灣整體數學教育的了解啦!

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平均速率

平均速率

『上山的平均速度是時速40公里，下山的平均時速是60公里，請問上山和下山的平均時速是多少？』 請各位大大告訴我

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最後三題有水準hk

最後三題因式分解有水準

9.已知x+3是多項式x^3+x^2+mx+3的因式
(a)求m的值
(b)將該多項式因式分解

10.已知x-4是多項式x^3+Cx^2-x-C的因式
(a)求C的值
(b)將該多項式因式分解

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21.已知f(x)=8x^3+(4k+4)^2-4x+k，其中k&ne;0。若f(x)可被2x+k整除
[a]求k的值
[b]將f(x)因式分解

22.已知x+1和x-2都是x^3-ax^2+x-b的因式
[a]求a和b的值
[b]求該多項式其餘的因式

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26. 8x^4-28x^3+16x^2-2x

27. x^4-5x^3-2x^2+9x+5

28. x^4+2x^3-7x^2-8x+12

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9.
(a)令x=-3代入, -27+9-3m+3=0, m=-5 
(b)得原式為x^3+x^2-5x+3
=(x+3)(x^2-2x+1)=(x+3)(x-1)^2

10.
(a)令x=4,代入得4^3+4^2C-4-C=0, C=-4  

(b)得原式為: x^3+12x^2-x-12

(x-4)(x^2-1)= (x-4)(x+1)(x-1)

 

21. [a] 由長除法得:

[8x^3+(4k+4)x^2-4x+k]/(2x+k)=(4x^2+2x+1)….0

得 k=-3,

[b]f(x)= (4x^2+2x+1)(2x-3) 

22.

[a](x+1)(x-2)=x^2-x-2

由長除法得: (x^3-ax^2+x-b)/( x^2-x-2)=(x-3)…….0

b=-6, a=4
[b]其餘的因式: (x-3)

長除法過程

26.
8x^4-28x^3+16x^2-2x
=2x(4x^3-14x^2+8x-1)
=(2x-1)(2x^2-6x+1)

27.
x^4-5x^3-2x^2+9x+5
=x^3(x-5)-(2x^2-9x-5)
=x^3(x-5)-(2x+1)(x-5)
=(x-5)(x^3-2x-1)
=(x-5)(x+1)(x^2-x-1)

28.
x^4+2x^3-7x^2-8x+12
=x^4+2x^3+ax^2+bx^2-8x+12
(1:2:a=b:-8:12, a=-3, b=-4)
=x^4+2x^3-3x^2-4x^2-8x+12
=x^2(x^2+2x-3)-4(x^2+2x-3)
=(x^2-4)(x^2+2x-3)
=(x+2)(x-2)(x^2+2x-3)

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