P是正方形ABCD 內的一點,求正方形面積

P是正方形ABCD 內的一點,求正方形面積 

如附圖，ABCD 是正方形，P是ABCD 內的一點，PA＝1，PB＝3，PD＝√7  ，試求正方形ABCD 的面積。

 
我要詳細的解答過程喔，因為想破頭也算不出來，
請大家幫幫忙喔~~~謝謝

原連結

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popi popi大大說:
若8-√14成立,
可依三個三角形APB,APD,BPD
=>角APB,APD,BPD都是<90 (三角形邊長判別~)
=>那就不合了(周角=360)

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線段比求直線

下列哪條直線過A(4,2),交x軸於P,交y軸於Q,使得AP長:AQ長=3:2

(a)3x+y=14
(b)x-3y+2=0(正解)
(c)2x+y=10
(d)3x+2y=16
(e)3x-y=10

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AP長:AQ長=3:2,
斜率=-1/3,1/3

{過A做垂線交x於B,
根據相似形, AB=2, BP=6, AB/BP=+-1/3,

過程詳見圖解, }

過A(4,2)之直線有兩解,
y=-1/3(x-4)+2, y=1/3(x-4)+2

得  x+3y=10, x-3y+2=0

選(B)

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基本橢圓

1.求滿足下列條件的橢圓方程式
(1.) 中心為 (0.0.) 長軸平行x軸 且長軸長為10 短軸長為6
(2.) 長軸上頂點(1.2)
(9.2) 短軸長為4
(3.) 一焦點為(6.6) 短軸在 y= 3 上 短軸長為8

2.
求下列各橢圓的中心.頂點.焦點與正焦弦長
(1.) 9x^2+y^2=9
(2.) 16(x+2)^2+25(y+1)^=400
(3.)
4x^2+y^2-16x+10y+25=0

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[挑戰題](2)灌水_很麻煩_小六

小六難題二題

 

(1)甲乙丙三人同時同地用一定速率跑操場，甲跟乙同方向，只有丙反方向跑。甲12分鐘後追上乙，丙與乙2分鐘後相遇。甲跑13分鐘的距離丙要花15分鐘。問丙與乙的速率之比是多少?
(A)14:13 (B)13:11 (C)13:12 (D)7:6

(2)有一水槽，用甲管跟乙管注水，用甲管一支6小時可注滿。 用甲管1支乙管3支的話，住滿水槽需要的時間是甲管3支乙管1支的兩倍。
開始時用甲管1支，乙管1支，中途由於甲管的出水量減半，所以加了乙管1支，結果比預定的時間晚了65分鐘才注滿! 請問甲管是在開始注水後多久才故障的?
(A)95 (B)105 (C)125 (D)100

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參考過程下, 請指教

(1) 甲乙同向, 甲12分追上乙-------->甲12分跑距離-乙12分跑距離=1圈
丙與乙反向, 2分鐘後相遇----------->丙2分跑距離+乙2分跑距離=1圈 

甲跑13分的距離丙要15分鐘------->甲丙速度比=15:13

設甲:乙:丙的分速比為15:x:13
12*15-12x=2*13+2x,  14x=154,   x=11,   則丙與乙速度比=13:11
答: (B) 

(2)甲管一支, 6小時可注滿, 甲管每小時可注1/6
設以管一支, x小石可注滿, 乙管每小時可注1/x

甲管1支乙管3支，住滿水槽時間是甲管3支乙管1支的兩倍
---->甲管3支乙管1支，每小時注水量是甲管1支乙管3支的兩倍

3*(1/6)+1/=2*(1/6+3/x), 1/2+1/x=1/3+6/x, x=30,

乙管每小時可注水1/30 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
設甲管於y小時後故障
原甲乙兩管注水量------------->1/6+1/30=1/5, 每小時1/5; 原總注水時間5小時
後甲乙兩管注水量------------->1/12+2/30=3/20, 每小時3/20
後總注水時間=5+65/60=73/12(小時)

1/5*y+3/20*(73/12-y)=1, 1/5*y+73/80-3/20*y=1,

y/20=7/80, y=7/4

答: 7/4小時

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正方形面積求法?

一個正方形ABCD.
設M為AB線段的中點.
C點與M點連成一線段而形成三角形ACM.
則CM=10.
(1)求正方形ABCD邊長為多少?
(2)求正方形ABCD面積為多少?

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令MB=x, BC=2x(正方形邊長)

在直角三角形MBC中, X^2+(2X)^2=10^2
x^2+4x^2=100,
x^2=20
x=2(根號5), BC=4(根號5)

正方形的面積=(2x)^2=4x^2=80

 答: (1)4(根號5) 
(2)80平方單位

**用不到三角形ACM

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一元一次討論型方程式

甲-----|x^2+4x-5|+2|x-1|=9解根

乙-----√x^2  -  √(5-x^2)   = 
1求實根

丙-----若0<x<2,解x^2-[x^2]=x-[x] 註:[ 
]是高斯符號

丁-----[2x-3]+[5x-7]=11解根

原連結

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(甲)|(x+5)(x-1)|+2|x-1|=9

 
分三組討論x>=1, -5<x<1,
x=<-5時

  a.
x>=1時,

(x+5)(x-1)+2(x-1)=9, x^2+6x-16=0,
(x+8)(x-2)=0, x=2,-8(與假設不合,-8<1)

  b.
-5<x<1時

  x^2+6x+2=0,
x=-3+-根號(7)(負不合,
x=-3-根號(7)<-5)

  c.
x=<-5時

  x^2+2x-12=0,
x=-1+-根號(13)(皆不合,
-1+-根號(13)>-5)

答: x=2,
-3+根號(7) 

(乙)√x^2  - 
√(5-x^2)   =  1

 
√x有解的條件,
x>0; √(5-x^2) 有解的條件,
-√5 <x<√5

得整題有解條件:
0<x<√5

  x -1 
=√(5-x^2) ,兩邊平方得:
x^2-x-2=0

  (x-2)(x+1)=0,
x=2,-1(不符合條件)

答:
x=2

 (丙)
若0<x<2; 分三部份討論

 a. 0<x<1, [x]=0,
[x^2]=0;
   
原式: x^2=x, x=1,0(皆不合,
0<x<1)

b.
1=<x<√2, [x]=1,
[x^2]=1;

   
原式: x^2-1=x-1, x=1,0(0不合,
x>0)

c. √2=<x<2, [x]=1, [x^2]=2;

    原式:
x^2-2=x-1, x=(1+-√5)/2

   
√5約=2.2,
(負不合,正合)

答: x=1,
(1+√5)/2

(丁)先假設求整數解, 2x-3+5x-7=11, 7x=21, x=3

x=3時, [2x-3]=3, [5x-7]=8,
3+8=11
x=3-(表比3小一點…..), 2x-3<3, [2x-3]=2;5x-7<8, [5x-7]=7, 2+7=9,
故無x<3之解
對2x-3而言, x多0.5, [2x-3]就會進1,
對5x-7而言, x多0.2, [5x-7]就會進1,

所以答案在3與3.2之間
答: 3=<x<3.2

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[挑戰題]解一元的方程式

甲. x^6+1=0

乙. x^2-x+3√(2x^2-3x+2)=x/2 
+7

丙. (7-4√3)x^2+(2-√3)x-2=0

原連結1

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甲. 若x^2+(b-3)x+2=0與x^2-bx-1=0有一公共根,求b=?

乙. x|x|-3|x|+2=0,
求根

丙. 公式解ax^2+bx+c=0時,小王算錯b^2-4ac得二根3,-2,小玉看錯b得二根
-5,2,求原方程式及二根正解

丁. 公式解將b^2-4ac看成b^2+4ac解出二根為1/3,-2,求正確二根為何?

原連結2

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甲. x^6+1=0=(x^2+1)(x^4-x^2+1)
x^2+1=0 x=i(複數) 

乙. x^2-x+3√(2x^2-3x+2)=x/2 +7
2x^2-3x+6*(2x^2-3x+2)^0.5-14=0

(2x^2-3x+2)+6*(2x^2-3x+2)^0.5-16=0
令k=(2x^2-3x+2)^0.5
(2x^2-3x+2)+6*(2x^2-3x+2)^0.5-16=k^2+6k-16
=(k+8)(k-2)=0
k=-8或２（負不合）
k^2=4=2x^2-3x+2
2x^2-3x-2=0=(2x+1)(x-2)=0 x=2或-1/2
x^2-x+3√(2x^2-3x+2)=x/2 
+7

丙. (7-4√3)x^2+(2-√3)x-2=0
(2-3^0.5)^2x^2+(2-3^0.5)x-2=0
[(2-3^0.5)x-1][(2-3^0.5)x+2)]=0
x=1/(2-3^0.5)=2+3^0.5
或-2(2+3^0.5)

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參考過程如下,
請指教

(1)設共同根為k,   k^2+(b-3)K+2=0,  
k^2-bk-1=0
   相加消去b, 得: 2k^2-3k+1=0, 
k=1,1/2
   k=1, 代入得: 1-b-1=0,  b=0,  
代入兩式檢驗, 合!
   k=1/2, 代入得: 1/4-1/2b-1=0,  b=-3/2, 代入兩式檢驗, 合!
   b=0, -3/2   答: b=0,
-3/2 

(2)分為x>=0(|x|=x), 與x<0(|x|=-x)討論

   當x>=0時, 原式=x^2-3x+2=0, (x-2)(x-1)=0,
x=2,1

   當x<0時, 原式=-x^2+3x+2=0,

   x=[3+-根號(17)]/2, (正不合, 因假設x<0)

   答 : 當x為正數時, x=2,1 ; 當x為負數時, x=[3-根號(17)]/2

(3)小玉看到的是: (x+5)(x-2)=0, x^2+3x-10=0,
    因看錯b原式為x^2+____x-10=0
    小王看到的是: (x-3)(x+2)=0, x^2-x-6=0, 
    因看錯D, 3-2=1=-b/1, b=-1

    得原式為x^2-x-10=0, x=[1+-根號(41)]/2

    答 : 原方程式x^2-x-10=0, 兩根正解x=[1+-根號(41)]/2

 (4)看到的方程式: (x-1/3)(x+2)=0, 3x^2+5x-2=0, 其中-2是錯的

    原方程式為3x^2+5x+c=0, x=[-5+-根號(25-12c)]/2,

    使較大根為較大解得[-5+-根號(25+12c)]/2=1/3,
    根號(25+12c)=7, c=2,
    原方程式為3x^2+5x+2=0, (3x+2)(x+1)=0,
x=-2/3,-1
    答 :
x=-2/3,-1

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