基本橢圓

1.求滿足下列條件的橢圓方程式
(1.) 中心為 (0.0.) 長軸平行x軸 且長軸長為10 短軸長為6
(2.) 長軸上頂點(1.2)
(9.2) 短軸長為4
(3.) 一焦點為(6.6) 短軸在 y= 3 上 短軸長為8

2.
求下列各橢圓的中心.頂點.焦點與正焦弦長
(1.) 9x^2+y^2=9
(2.) 16(x+2)^2+25(y+1)^=400
(3.)
4x^2+y^2-16x+10y+25=0

原連結

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[挑戰題](2)灌水_很麻煩_小六

小六難題二題

 

(1)甲乙丙三人同時同地用一定速率跑操場，甲跟乙同方向，只有丙反方向跑。甲12分鐘後追上乙，丙與乙2分鐘後相遇。甲跑13分鐘的距離丙要花15分鐘。問丙與乙的速率之比是多少?
(A)14:13 (B)13:11 (C)13:12 (D)7:6

(2)有一水槽，用甲管跟乙管注水，用甲管一支6小時可注滿。 用甲管1支乙管3支的話，住滿水槽需要的時間是甲管3支乙管1支的兩倍。
開始時用甲管1支，乙管1支，中途由於甲管的出水量減半，所以加了乙管1支，結果比預定的時間晚了65分鐘才注滿! 請問甲管是在開始注水後多久才故障的?
(A)95 (B)105 (C)125 (D)100

原連結

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參考過程下, 請指教

(1) 甲乙同向, 甲12分追上乙-------->甲12分跑距離-乙12分跑距離=1圈
丙與乙反向, 2分鐘後相遇----------->丙2分跑距離+乙2分跑距離=1圈 

甲跑13分的距離丙要15分鐘------->甲丙速度比=15:13

設甲:乙:丙的分速比為15:x:13
12*15-12x=2*13+2x,  14x=154,   x=11,   則丙與乙速度比=13:11
答: (B) 

(2)甲管一支, 6小時可注滿, 甲管每小時可注1/6
設以管一支, x小石可注滿, 乙管每小時可注1/x

甲管1支乙管3支，住滿水槽時間是甲管3支乙管1支的兩倍
---->甲管3支乙管1支，每小時注水量是甲管1支乙管3支的兩倍

3*(1/6)+1/=2*(1/6+3/x), 1/2+1/x=1/3+6/x, x=30,

乙管每小時可注水1/30 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
設甲管於y小時後故障
原甲乙兩管注水量------------->1/6+1/30=1/5, 每小時1/5; 原總注水時間5小時
後甲乙兩管注水量------------->1/12+2/30=3/20, 每小時3/20
後總注水時間=5+65/60=73/12(小時)

1/5*y+3/20*(73/12-y)=1, 1/5*y+73/80-3/20*y=1,

y/20=7/80, y=7/4

答: 7/4小時

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正方形面積求法?

一個正方形ABCD.
設M為AB線段的中點.
C點與M點連成一線段而形成三角形ACM.
則CM=10.
(1)求正方形ABCD邊長為多少?
(2)求正方形ABCD面積為多少?

原連結

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令MB=x, BC=2x(正方形邊長)

在直角三角形MBC中, X^2+(2X)^2=10^2
x^2+4x^2=100,
x^2=20
x=2(根號5), BC=4(根號5)

正方形的面積=(2x)^2=4x^2=80

 答: (1)4(根號5) 
(2)80平方單位

**用不到三角形ACM

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一元一次討論型方程式

甲-----|x^2+4x-5|+2|x-1|=9解根

乙-----√x^2  -  √(5-x^2)   = 
1求實根

丙-----若0<x<2,解x^2-[x^2]=x-[x] 註:[ 
]是高斯符號

丁-----[2x-3]+[5x-7]=11解根

原連結

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(甲)|(x+5)(x-1)|+2|x-1|=9

 
分三組討論x>=1, -5<x<1,
x=<-5時

  a.
x>=1時,

(x+5)(x-1)+2(x-1)=9, x^2+6x-16=0,
(x+8)(x-2)=0, x=2,-8(與假設不合,-8<1)

  b.
-5<x<1時

  x^2+6x+2=0,
x=-3+-根號(7)(負不合,
x=-3-根號(7)<-5)

  c.
x=<-5時

  x^2+2x-12=0,
x=-1+-根號(13)(皆不合,
-1+-根號(13)>-5)

答: x=2,
-3+根號(7) 

(乙)√x^2  - 
√(5-x^2)   =  1

 
√x有解的條件,
x>0; √(5-x^2) 有解的條件,
-√5 <x<√5

得整題有解條件:
0<x<√5

  x -1 
=√(5-x^2) ,兩邊平方得:
x^2-x-2=0

  (x-2)(x+1)=0,
x=2,-1(不符合條件)

答:
x=2

 (丙)
若0<x<2; 分三部份討論

 a. 0<x<1, [x]=0,
[x^2]=0;
   
原式: x^2=x, x=1,0(皆不合,
0<x<1)

b.
1=<x<√2, [x]=1,
[x^2]=1;

   
原式: x^2-1=x-1, x=1,0(0不合,
x>0)

c. √2=<x<2, [x]=1, [x^2]=2;

    原式:
x^2-2=x-1, x=(1+-√5)/2

   
√5約=2.2,
(負不合,正合)

答: x=1,
(1+√5)/2

(丁)先假設求整數解, 2x-3+5x-7=11, 7x=21, x=3

x=3時, [2x-3]=3, [5x-7]=8,
3+8=11
x=3-(表比3小一點…..), 2x-3<3, [2x-3]=2;5x-7<8, [5x-7]=7, 2+7=9,
故無x<3之解
對2x-3而言, x多0.5, [2x-3]就會進1,
對5x-7而言, x多0.2, [5x-7]就會進1,

所以答案在3與3.2之間
答: 3=<x<3.2

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[挑戰題]解一元的方程式

甲. x^6+1=0

乙. x^2-x+3√(2x^2-3x+2)=x/2 
+7

丙. (7-4√3)x^2+(2-√3)x-2=0

原連結1

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甲. 若x^2+(b-3)x+2=0與x^2-bx-1=0有一公共根,求b=?

乙. x|x|-3|x|+2=0,
求根

丙. 公式解ax^2+bx+c=0時,小王算錯b^2-4ac得二根3,-2,小玉看錯b得二根
-5,2,求原方程式及二根正解

丁. 公式解將b^2-4ac看成b^2+4ac解出二根為1/3,-2,求正確二根為何?

原連結2

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甲. x^6+1=0=(x^2+1)(x^4-x^2+1)
x^2+1=0 x=i(複數) 

乙. x^2-x+3√(2x^2-3x+2)=x/2 +7
2x^2-3x+6*(2x^2-3x+2)^0.5-14=0

(2x^2-3x+2)+6*(2x^2-3x+2)^0.5-16=0
令k=(2x^2-3x+2)^0.5
(2x^2-3x+2)+6*(2x^2-3x+2)^0.5-16=k^2+6k-16
=(k+8)(k-2)=0
k=-8或２（負不合）
k^2=4=2x^2-3x+2
2x^2-3x-2=0=(2x+1)(x-2)=0 x=2或-1/2
x^2-x+3√(2x^2-3x+2)=x/2 
+7

丙. (7-4√3)x^2+(2-√3)x-2=0
(2-3^0.5)^2x^2+(2-3^0.5)x-2=0
[(2-3^0.5)x-1][(2-3^0.5)x+2)]=0
x=1/(2-3^0.5)=2+3^0.5
或-2(2+3^0.5)

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參考過程如下,
請指教

(1)設共同根為k,   k^2+(b-3)K+2=0,  
k^2-bk-1=0
   相加消去b, 得: 2k^2-3k+1=0, 
k=1,1/2
   k=1, 代入得: 1-b-1=0,  b=0,  
代入兩式檢驗, 合!
   k=1/2, 代入得: 1/4-1/2b-1=0,  b=-3/2, 代入兩式檢驗, 合!
   b=0, -3/2   答: b=0,
-3/2 

(2)分為x>=0(|x|=x), 與x<0(|x|=-x)討論

   當x>=0時, 原式=x^2-3x+2=0, (x-2)(x-1)=0,
x=2,1

   當x<0時, 原式=-x^2+3x+2=0,

   x=[3+-根號(17)]/2, (正不合, 因假設x<0)

   答 : 當x為正數時, x=2,1 ; 當x為負數時, x=[3-根號(17)]/2

(3)小玉看到的是: (x+5)(x-2)=0, x^2+3x-10=0,
    因看錯b原式為x^2+____x-10=0
    小王看到的是: (x-3)(x+2)=0, x^2-x-6=0, 
    因看錯D, 3-2=1=-b/1, b=-1

    得原式為x^2-x-10=0, x=[1+-根號(41)]/2

    答 : 原方程式x^2-x-10=0, 兩根正解x=[1+-根號(41)]/2

 (4)看到的方程式: (x-1/3)(x+2)=0, 3x^2+5x-2=0, 其中-2是錯的

    原方程式為3x^2+5x+c=0, x=[-5+-根號(25-12c)]/2,

    使較大根為較大解得[-5+-根號(25+12c)]/2=1/3,
    根號(25+12c)=7, c=2,
    原方程式為3x^2+5x+2=0, (3x+2)(x+1)=0,
x=-2/3,-1
    答 :
x=-2/3,-1

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[挑戰題]數學質數題目

1.若某一年的8月1日是星期日，問同年的10月10日是星期幾?

2.已知2001年5月1日星期二，則2001年2月15日是星期幾?

3.小於100的正整數中，使n/99為最簡分數的n有()個?

4.滿足(3)中條件的所有n的總合是()?

5.欲使60xa=b的2次方，a、b均為正整數，則a、b最小值各為多少?

6.欲使4725成為(1)某數的平方(2)某數的立方，問最少各乘多少?

7.若m、n、p、q均為正整數，且392xm=n的3次方，設n最小值為p，此時m之值為q，求p+q=?

8.小於100恰有3個正因數的正整數有那幾個?

9.三位數中恰有15個正因數的正整數，共有幾個?最大和最小各是多少?

10.已知a為恰有3個正因數的正整數，且50<a<190，則a=?

原連結

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你問的題目後幾題水準超過國一, 假如有看不懂的
隨時發問, 將為你做更詳細的說明

1.(31-1)+30+10=70, 70/7=10….0   答: 星期日 

2.2001為平年, 2月有28天, (28-15)+31+30+1=75, 75/7=10….5,

   由星期二倒數五天(或正數二天), 星期一,日,六,五,四

  
答: 星期四 

3.小於100的正整數中，使n/99為最簡分數的n有()個?

   99=3^2x11, 則數字n不可為3,11之倍數, 有99x(1-1/3)(1-1/11)=60

   
答:
60個 

4. 60/2x99=2970  答:2970 

5.60=2^2x3x5,
60xa=2^2x3x5x(3x5)=(2x3x5)^2=30^2為最小值,
   故b=30, a=15    答 :
a=15,b=30

6.4725=3^3x5^2x7

   要成為完全平方數3^3x5^2x7x(3x7)

   要成為完全立方數3^3x5^2x7x(5x7^2)

   答 : (1)21  
(2)245

7.392=2^3x7^2,
求最小的完全立方數

  
2^3x7^2x(7)=(2x7)^3=14^3=p^3, p=3, q=7, p+q=10

   答 :
10

8.有三個正因數---->即質數的完全平方數<100

   2^2=4, 3^2=9, 5^2=25,
7^2=49,

   答 : 4,9,25,49


9.15=3x5, 3,5為指數加1相乘而來, 則標準分解式的指數為2,4

   標準分解式=a^2xb^4, a,b由最小質數開始代入得,

   a=3,b=2
-------3^2x2^4=144

   a=2,b=3
-------2^2x3^4=324

   a=5,b=2
-------5^2x2^4=400

   a=7,b=2
-------7^2x2^4=784

   答 : 共有4個, 最小144, 最大784

10.(觀念同八) 求50到190之間, 質數的完全平方數

   11^2=121, 13^2=169

   答 : 121, 169

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畫三角形內接正方形

在三角形ABC 要畫一個正方形 四個頂點都要在三角形的邊上 要怎麼畫呢?
我看到的解答是先畫一個只有三個頂點在邊上的正方形
再來把沒有在邊上的那個點跟三角形的頂點連起來交另一邊於那點就OK了 我的疑問是為什麼會這樣勒?

原連結

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