2009年10月28日 星期三
奧林匹克競試題目
奧林匹克競試題目
1.有一種足球是由32快黑白相間的牛皮縫製而成,黑皮為正五邊形,白皮為正六邊形,且邊長都相等,則白皮的塊數是多少?
2.已知兩個自然數的和是60,其最大公因數與最小公倍數之和是84,,求這兩個自然數是多少?
3.設A.B兩個數都只含有質因數3和5,他們的最大公因數是75,已知A有12個因數,B有10個因數,那麼A.B兩數的和等於多少?
4.設a.b兩個不相等的自然數,如果他們的最小公倍數是72,那麼a.b的和可以有幾種不同的值?
5.從0~10這十個數中選出五個不同的數字組成一個五位數,使它能被3.5.7.13整除,這個數最大值是多少?
6.整數64具有被他的個位數所整除的性質,試問在10和50之間有幾個整數具有這種性質?
7.在某沙漠地帶,汽車每天能行駛200千米,每輛汽車載運可行駛24天的汽油,現有甲 乙兩車,同時從A地出發,並在完成任務後沿原路返回,為了讓甲車盡可能開出更遠距離,已再行使一段路程後,僅留足自己返回A地的汽油,將其他的汽油讓給甲車,問甲車能開的最遠距離是多少?
8.請問有一個數列如下:1,2,4,6,a,12,16,b,22 ,請找出其規律，並求出a,b的值。
9.寫出3個小於10的自然數,使他們3個數中有2個數的最大公因數為1,其餘每2個一組的最大公因數皆大於一?
10.有11個連續整數,第10個數是第2個數的13/9倍,請問這11個數的和為何?
11.在某年的5月份,有5個星期5,而他們的日期數字的和等於80,請問這個月的第1天是星期幾?
12.3個直數的倒數之和為41/42,請問這3個質數之和為何?
參考過程如下, 請指教
(1)設五邊形黑色x塊
則共有(5x)/3+x=32........黑邊有5白,每個白被重覆算3次, 所以除以3
x=12, 32-12=20
Ans: 白皮有20塊
(2)最大公因數=和與小倍的最大公因數
設大因為k, 令兩數a=pk, b=qk, p,q互質
k=(60,84)=12,
因a+b=60, 則p+k=5, 因k+kpq=84, 則1+pq=7
符合上述整數解為p=2,q=3, 則兩數為24,36
Ans:兩數為24,36
(3)A=3^m*5^n, 有12個因數,12=4*3.....指數+1相乘
B=3^p*5^q, 有10個因數,10=2*5
75=A=3*5^2;則m,p中有一數為1, n,q中有一數為2
比較得p=1, q=4, m=3, n=2
得A=675, B=1875, A+B=2550
Ans: 2550
(4)72=2^3*3^2, 有因數(3+1)(2+1)=12........指數加1相乘
但要扣除72這個大因,
因為72=大因=小倍時, 兩數相等皆為72,
故12-1=11種
Ans:11種
(5)
Sol: 98765.............五個相異數字的最大五位數
3,5,7,13都能整除, 求3,5,7,13之倍數
[3,5,7,13]=1365......先算小倍
98765/1365=72餘485, 最大數為98765-485=98280.....不合, 數字要相異
較98280小的1365倍數依序為96915, 95550...............不合
94185....................BINGO
Ans:94185
(6)
Sol: 10~50之間,
末數為1, 2, 5, 0者一定可以:共4*4-1=15個............因不含10與50
其它用檢查的
末數為3者有:33 共1個
末數為4者有:24,44 共2個
末數為6者有:36 共1個
末數為7者有:(從缺)共0個
末數為8者有:48 共1個
末數為9者有:(從缺)共0個
共15+1+2+1+0+1+0=20個
Ans:20個
(7)看不懂題目
(8)數列:1,2,4,6,a,12,16,b,22(之前剛回答一位網友)
規則為: 連續質數-1
連續質數:2,3,5,7,11,13,17,19,23
各項減一:1,2,4,6,10,12,16,18,22
Ans: a=10,b=18
(9)4=2^2,9=3^2,6=2,3
(4,9)=1就是互質啦, (4,6)=2>1, (6,9)=3>1
Ans:4,6,9
(10)設第二數為x, 第十數為13/9x,
13/9x-x=8...............第十個與第二個連續整數相差8
x=18
第二數為18, 第一數為17,第十數為18+8=26, 最後一數為27
總和為(17+27)*11/2=242
Ans:242
(11)五個等差數列和為80
中項為80/5=16, 第一個為16-7-7=2......5月2號為星期五
本月一號為星期四
Ans: 星期四
(12)質數當分母, 最小公倍數為三數相乘
42=2*3*7
質數和為2+3+7=12
Ans: 12
2009年10月27日 星期二
如何拒絕補習班電話~超爆笑的︿︿．．．．
如何拒絕補習班電話~超爆笑的︿︿．．．．
甲：「補習班一直打電話來，煩都煩死了...跟他們說人不在，他們還說要晚點再打來...害我一下扮老爸，一下扮我妹的朋友。」
我：「......」
過些時候！過些時候！過些時候！過些時候！
打ＰＳ２打到一半時！電話響起！
甲：「喔！又是補習班的！真的很不想接耶...」
我：「那我來接好了...」
甲：「沒用啦！他待會還是會打來啦！」
我：「試試看嘛...」（接起電話）
工讀生：「喂？你好...」
我：「喂？XX補習班您好！」
工讀生：「...抱歉，我打錯了...」
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～嗯？
之後，我與好友甲一陣狂笑，而那天補習班也沒再打來。
附註：來電顯示真是好啊～～～ＸＤ
【第二招】
「喂？ＸＸ分局你好。」
.......喀...........嘟嘟嘟..............
「喂？調查局偵一處。」
「....................................對不起我打錯了.........」
「喂？119勤務中心。」
「啊？？？...........呃。.............抱歉。」
.........喀！.........
「國軍人才招募中心您好。」
「....................」
「喂 ？？這裡的電話號碼ooxx-ooxx，我們現在不在，要找我請按１，找我老婆請按２，找我秘書請按３，討債請按４，mib請按５.................」
（按下）
「對不起，本程式發生異常，即將關閉，詳情請洽系統管理員。」
.............XD
「對不起，您撥的號碼是空號，請查明後再撥，謝謝！」
（↑這個現在錄下來當答錄機用.....：P）
【第三招】
發現大家都挺有品的。高二時補習班幾乎天天打來。
想到自己有一次心情不好補習班還打來，結果我就問候了一下他的媽媽。
不過只有一次啦！
打來是女生就會聊天吧，男生.....就…..。
我同學（真是強者）
工讀生：「請問是***嗎？我是oo補習班可以擔誤你一些時間嗎？」
我同學：「不行。」
工讀生：「一下就好。」
我同學：「不行。」
工讀生：「真的一下就好。」!
我同學：「（台語）是你要掛電話還是我要掛電話，哪是我掛電話，你會就無面子。」
嘟嘟……對方掛了~~
高三後就沒接過電話了，後來聽去補習班當過工讀生的朋友說：
我同學名字旁寫上『態度惡劣』，我的名字旁邊是...『龜毛』。
【第四招】
食神降臨～～～我接到補習班來電都會說以下台詞：
「你好！這裡是食神外送服務，請問先生要點什麼？」
（趁他還在支支吾吾，被幻覺給迷惑時接著說）
我們目前主打以下餐點：
Ａ、唐牛師傅的刻骨銘心初戀金銀情侶套餐的改良版雜碎麵。
Ｂ、雙刀火雞的爆漿噴尿魚丸。
Ｃ、史提芬周的黯然銷魂飯。
此時工讀生一般如果還沒掛電話，會發出一聲：「蛤～～～」
我再繼續說下去：
如果你是個優良的雜碎，那請點我們的Ａ特餐吧。
如果你時常會爆漿（落賽）噴尿（膀胱無力），那務必點Ｂ特餐嚕
如果你已經失戀還是經常心情很Down，那來郭Ｃ特餐唄。
現在如果Ａ＋Ｂ＋Ｃ餐全點的話，我們還送〝補習班來電如何拒絕〞一書。
（挖～～哈哈哈哈哈哈哈 ^o^ ）
【第五招】
補習班：『請問，你考幾分？』
同學：『（注意！以下要用吼的）不要問我分數！！！！』
補習班：『……』
（通常他們會支支吾吾的想說些話…要在他們正要說話時）
同學：『為甚麼！！~~為甚麼~~~~~~~~~~~！！為甚麼我數學那題會算錯？~~』
補習班：『不要生氣…』（他們通常會安慰你）
同學：『你要我怎樣不生氣？說啊！』（反正就是無理曲鬧的跟他?x）
補習班：『那你要不要補習？』
同學：『別再跟我說補習的事！！』（這時要很生氣的呼吸）
補習班：『喔~~不好意思，打擾了............』
【第六招】
（要先錄下來）
我：喂！
補：請問XXX在嗎？
我：對不起？？聽不清楚耶...大聲點好不好？？
補：（大聲）請問XXX在嗎？？
我：還是聽不清楚..好像有干擾耶...再大聲點好不好？？
補：（超大聲）請問XXX在嗎？？
我：對不起.....這裡是電話錄音.....請在嗶聲後留下你想說的話...
《另外補充一招》
我試過最狠的一招
我:「喂?」
補:「你好，我是xxx補習班。」
我:「喔，有什麼事嗎?」
補:「我們在星期x的x點有試聽，你可以來試聽看看。」
我:「對不起喔，我沒有時間。」
補:「只要一個半小時就好了，來聽聽看嘛。
我:「可是今天晚上要變身成假面超人保護地球和平」
補:「……………。」
我:「對不起，不是我不想去，只是我真的沒空。」
補:「………好的……謝謝你。」
唉呀呀，自此以後，我不知道補習班為何物啊╮╯▽╰╭
《另外補充二》
大家試試看吧！
我:「喂?」
補:「你好，我是xxx補習班。」
我:「（台語） 你最好別惹我生氣
補:「不．不是，我是xxx補習班，能不能耽誤你一點時間？」有點被嚇到
我:「大聲(台語) 你如果惹我生氣，我就送你一桶汽油，一之番仔火，一個雞蛋糕給你過生日。」
補:「....................。」
我:「(台語)吼搭賣造。」
補:「拍謝拍謝。」嘟嘟嘟嘟，他也嚇到開始說台語
[課外補充][學習工具]一元三次方程式通解
一元三次方程式通解
令一元三次方程式為 x3 + ax2 + bx + c = 0
其中 a、b、c 屬於 R ， 不失ㄧ般性
先消去二次項
設 x = y + f ，帶入此方程式，可得到：
(y + f)3 + a(y + f)2 + b (y + f) + c = 0
→ y3 + ( 3f + a)y2 + ( 3f2 + 2af + b)y + (f3 + af2 + bf + c) = 0
讓 ( 3f + a) = 0 → f = - a/3
則方程式可改寫成：
y3 + py + q = 0 _______(1)
其中 p = ( 3f2 + 2af + b) = (b - a2 /3)
q = (f3 + af2 + bf + c) = (c – ab/3 + 2a3 / 27)
接下來令 y = u + v
→ y3 = u3 + 3u2v + 3uv2 + v3
= u3 + 3uv(u + v) + v3
= u3 + 3uvy + v3
→ y3 - 3uvy - (u3 + v3) = 0 _______(2)
與 (1) 比較係數後，可得到：
p = - 3uv
q = - (u3 + v3)
→ u3v3 = - p3 / 27
u3 + v3 = -q
利用一元二次方程式根與數的關係
可列出以 Z 為未知數，根為u3、v3 的方程式：
Z2 + qZ - p3 / 27= 0
解出 Z = -q/2 ± [(q/2)2 + (p/3)3]1/2
即 u3 = -q/2 + [(q/2)2 + (p/3)3]1/2
v3 = -q/2 - [(q/2)2 + (p/3)3]1/2
讓 A = -q/2 + [(q/2)2 + (p/3)3]1/2
B = -q/2 - [(q/2)2 + (p/3)3]1/2
可求出 u = A1/3 、 A1/3ω、 A1/3ω2
v = B1/3 、 B1/3ω、 B1/3ω2
其中 ω= (- 1 + i√3) / 2 為 x3 = 1 的一個複數根
由 p = - 3uv 可判斷出 y 的三組可能解：
y = (A1/3 + B1/3) 、 (A1/3ω+ B1/3ω2 ) 、 (A1/3ω2 + B1/3ω)
因此由 x = y + f = y – a/3 即可得出三組通解：
x = (A1/3 + B1/3 – a/3)
or (A1/3ω+ B1/3ω2 – a/3)
or (A1/3ω2 + B1/3ω– a/3)
其中 A = -q/2 + [(q/2)2 + (p/3)3]1/2
B = -q/2 - [(q/2)2 + (p/3)3]1/2
p = ( 3f2 + 2af + b) = (b - a2 /3)
q = (f3 + af2 + bf + c) = (c – ab/3 + 2a3 / 27)
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