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2009年10月27日星期二

[課外補充]費氏數列

上午9:26 數學參考資料 2 comments

[課外補充]費氏數列

蜜蜂與數學

蔡聰明

雄蜂是由未受精的卵孵化出來的，故只有母親而沒有父親。進一步，我們考慮雄蜂的譜系，如圖六，我們發現一隻雄蜂歷代祖先的個數，形成一個費氏數列 (Fibonacci sequence)：

$\begin{displaymath}1,1,2,3,5,8,13,\cdots\end{displaymath}$

即由首兩項 1, 1 出發，任何一個後項都是前兩項之和。更有趣的是，若各代祖先適當排列的話，第七代的13位祖先恰好可以排成鋼琴八度音之間的13個半音階（8個白鍵，5個黑鍵）。

圖六

除了雄蜂譜系之外，費氏數學在植物世界偶爾也可以觀察到。有些花草或樹木，其枝幹的分枝成長符合費氏數列的模式，如圖七所示。

圖七

你以後到野外郊遊或登山時，可以留意觀察或找尋看看有沒有符合費氏數列的樹木。筆者曾在登七星山的途中，發現一棵非常「費氏數列」的樹木。懷著一個問題或目標走入大自然，我們才能真正觀察到東西，生活也會更積極主動。

事實上，費氏數列最先是考慮兔子的繁殖引起的。中世紀歐洲最偉大的數學家 Fibonacci（1180～1250）在1202年出版《算盤之書》(Liber Abaci)，其中有一個問題如下：

假設任何一對新出生的兔子，兩個月後開始生一對新兔，以後每隔一個月都生一對新兔。已知年初有一對新兔，在不發生死亡的情況下，問年底總共有幾對兔子？

假設第 n 個月底兔子總共有 a_n 對，則按題意知

$\begin{displaymath}<br />a_1=1 \; , \; a_2=1<br />\end{displaymath}$

(2)

並且

a_n+2=a_n+1+a_n

(3)

(3)式是一個二階差分方程式，(2)式是初期條件。求解(2)與(3)就是要找出通項 a_n 的公式，這有種種辦法。最早是在1718年由 De Moivre 求得，後來在1843年又由 Binet 重新發現（兩位都是法國數學家），答案是

$\begin{displaymath}<br />a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]<br />\end{displaymath}$

(4)

此式今日叫做 Binet 公式，它含有兩個驚奇：其一是涉及黃金分割的比值 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ，其二是整數數列 (a_n) 居然可用一些無理數的組合來表達。上述兔子問題的答案是 a₁₂=144

蜈蚣穿鞋.....國三機率

上午9:05 [國中]函數與機率 No comments

蜈蚣穿鞋.....國三機率

有一隻蜈蚣有100隻腳左右邊各50隻腳
有一天他要出去玩
所以要先穿襪再穿鞋子.(一定..不能先穿鞋子再穿襪).襪子沒左右腳之分.鞋子有左右腳之分.請問有多少種解法????(鞋子跟襪子可分開穿
)我的意思是可先穿左1襪...再穿右1襪..再穿左1鞋..

智力測驗三題

上午9:01 不分年齡 2 comments

智力測驗三題

文章引用http://tw.group.knowledge.yahoo.com/hk09536-84253e/article/view?aid=19

硬幣遊戲

有A、B、C三人，手中各有硬幣若干枚。
開始，A按照B、C兩人手中硬幣數將自己手中的硬幣分別給了他們(比如,B有1枚,就分給他1枚,C有3枚就分給他3枚)，
之後B又按照A、C兩人手中現有的硬幣數將自己手中的硬幣分別給了他們,
最後，C又按A、B兩人手中現有的硬幣數將自己手中的硬幣數分別給了他們。
這樣一來，三人手中硬幣數恰好相等且都是8枚，問他們原來手中硬幣各有幾枚？

解答:

最初A+B+C=24
分到最後
4(A-B-C)=8
2(3B-A-C)=8
7C-A-B=8
所以A=13,B=7,C=4(選取便可看答案)

三人住店

有三個人去住旅館，住三間房，每一間房$10元，於是他們一共付給老闆$30，第二天，老闆覺得三間房只需要$25元就夠了於是叫小弟退回$5給三位客人，誰知小弟貪心只退回每人$1，自己偷偷拿了$2，這樣一來便等於那三位客人每人各花了$9，於是三個人一共花了$27，再加上小弟獨吞了不$2，總共是$29。可是當初他們三個人一共付出$30那?還有$1呢？

解答:

其實這是一個引導你邏輯錯誤的題目，以數學的列式應該是
$30(房客租金) - $3(房客租金退費) = $25(老闆收的租金) + $2(小弟污走的租金)
or
$30(房客租金) - $3(房客租金退費) - $2(小弟污走的租金) = $25(老闆收的租金)
or
$30(房客租金) = $25(老闆收的租金) + $3(房客租金退費) + $2(小弟污走的租金)

小弟污走的租金是從房客租金中扣除的，而非兩者相加(選取便可看答案)

計程車費用

4個人一起去搭計程車,假設計程車的費用與路程成正比
計程車走了1公里後,第一個人下車
再走1公里後,第二個人下車
再走1公里後,第三個人下車
再走1公里後,最後一個人下車並買單
計程車資共花了240元
這4個人應該負擔多少計程車費用才公平呢?

解答:

很多人會回答24,48,72,96元
最公平得分法應該是15,35,65,125元
首先將計程車費240元用分成4份每公里60元
第一公里4人分擔每因此得到15元,15+20=35元,15+20+30=65元,15+20+30+60=125元
人15元
第二公里3人分擔每人20元
第三公里2人分擔每人30元
第四公里1人分擔每人60元(選取便可看到答案)

印度的九九乘法–〔超實用的〕

上午8:59 不分年齡 2 comments

印度的九九乘法表

是從1 背到19(→19×19乘法？ )，

不過您知道印度人是怎麼記 11到19 的數字嗎？

我是看了下面這本書之後才恍然大悟的。

「印度式計算訓練」

2007年 6月 1 0日第一版第 6刷發行株式會社晉遊社發售

介紹了加減乘除的各種快速計算方法，

不過在這裡我只介紹印度的九九乘法。因為實在太神奇了！！

下面的數字跟說明都是引用該書P.44 的例子。

請試著用心算算出下面的答案：
13 X 12 = ？
(被乘數) (乘數 )
印度人是這樣算的。

***********************************************************
第一步：
先把被乘數(13)跟乘數的個位數 (2)加起來
13 + 2 = 15
第二步：
! ; ! 然後把第一步的答案乘以10(→也就是說後面加個 0 )

第三步：
再把被乘數的個位數(3)乘以乘數的個位數 (2)
2 X 3 = 6

(13+2)x10 + 6 = 156
**********************************************************
*
就這樣，用心算就可以很快地算出11X11 到19X19了喔。

這真是太神奇了！
我們試著演算一下
14×13：

(1)14+3＝17
(2)17×10＝170
(3)4×3＝12
(4)170+12＝182
16×17：
(1)16+7＝23
(2)23×10＝230
(3)6×7＝42
(4)230+42＝272
真的是耶，好簡單喔
怎不早點讓我知道呢
蠻有知識性的耶

數學好好玩

上午8:55 不分年齡 No comments

數學好好玩

文章引用http://tw.group.knowledge.yahoo.com/andy000-99956/article/view?aid=12
Nice one:
111,111,111 x 111,111,111 = 12,345,678,987,654,321

Trapeze:

   3 x 37 = 111
     6 x 37 = 222
     9 x 37 = 333
   12 x 37 = 444
   15 x 37 = 555
   18 x 37 = 666
   21 x 37 = 777
   24 x 37 = 888
   27 x 37 = 999

                                   0x 9 + 1 = 1
                            1 x 9 + 2 = 11
                          12 x 9 + 3 = 111
                        123 x 9 + 4 = 1111
                      1234 x 9 + 5 = 11111
                    12345 x 9 + 6 = 111111
                  123456 x 9 + 7 = 1111111
                1234567 x 9 + 8 = 11111111
              12345678 x 9 + 9 = 111111111

            123456789 x 9+10 = 1111111111

   another Trapeze:
                            1 x 8 + 1 = 9
                          12 x 8 + 2 = 98
                        123 x 8 + 3 = 987
                      1234 x 8 + 4 = 9876
                    12345 x 8 + 5 = 98765
                  123456 x 8 + 6 = 987654
                1234567 x 8 + 7 = 9876543
              12345678 x 8 + 8 = 98765432
            123456789 x 8 + 9 = 987654321

   and another one:

                                   0x 9 + 8 = 8
                                  9 x 9 + 7 = 88
                                98 x 9 + 6 = 888
                              987 x 9 + 5 = 8888
                            9876 x 9 + 4 = 88888
                          98765 x 9 + 3 = 888888
                        987654 x 9 + 2 = 8888888
                      9876543 x 9 + 1 = 88888888
                    98765432 x 9 + 0 = 888888888
                  987654321 x 9 - 1 = 8888888888
                9876543210 x 9 - 2 = 88888888888

願大家都　發發發發

我在多加一個是本人【世紀之王】發現的 = =

12345679 x9=111111111

12345679 x18=222222222

12345679 x27=333333333

12345679 x36=444444444

12345679 x45=555555555

12345679 x54=666666666

12345679 x63=777777777

12345679 x72=888888888

12345679 x81=999999999

1/7......神秘的數

上午8:53 不分年齡 No comments

1/7=0.142857

0.142857的兩倍,三倍.......就是

兩倍:第二小的數在0.142857中就是2,從2一直寫過去就是0.142857的兩倍了(0.285714)

三倍:第三小的數在0.142857中就是4,從4一直寫過去就是0.142857的三倍了(0.428571)

四倍:第四小的數在0.142857中就是5,從5一直寫過去就是0.142857的四倍了(0.571428)

五倍:第五小的數在0.142857中就是7,從7一直寫過去就是0.142857的五倍了(0.714285)

六倍:第六小的數在0.142857中就是8,從8一直寫過去就是0.142857的六倍了(0.857142)

你們以為加減很簡單?!

上午8:49 不分年齡 No comments

三個人去投宿

服務生說要３０元

每個人就各出了１０元，湊成３０元

後來老闆說今天特價只要２５元

於是叫服務生把退的５元拿去還給他們

服務生想說自己暗藏２元起來，於是就把剩下的３元還給他們

那三個人每人拿回１元１０－１＝９

表示每個人只出了９元投宿９x３＋服務生的２元＝２９　那剩下的１元呢？？？？

紐西蘭提供這個題目後，受到廣大的迴響！

真的很玄喔................

哈~哈~用力的給他想出來了嗎~~!?

原連結

http://tw.group.knowledge.yahoo.com/puissant-puissant/article/view?aid=3927

算了~~! 為免各位格友早生華髮~美女一併解答囉~!

不過若您有更好的解答~不吝賜教喔~!!

每個人只出了９元投宿９x３＋服務生的２元＝２９那剩下的１元呢？？？？

這句話很怪

應該是說9乘3等於27,再減去被服務生拿走的2元等於25元,剛好就是特價後的價格

沒有那多出的一元

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