紀算補習班,數學補習班,三重,文理補習班,國小數學,國中數學: [課外補充]費氏數列

[課外補充]費氏數列

蜜蜂與數學

蔡聰明

雄蜂是由未受精的卵孵化出來的，故只有母親而沒有父親。進一步，我們考慮雄蜂的譜系，如圖六，我們發現一隻雄蜂歷代祖先的個數，形成一個費氏數列 (Fibonacci sequence)：

$\begin{displaymath}1,1,2,3,5,8,13,\cdots\end{displaymath}$

即由首兩項 1, 1 出發，任何一個後項都是前兩項之和。更有趣的是，若各代祖先適當排列的話，第七代的13位祖先恰好可以排成鋼琴八度音之間的13個半音階（8個白鍵，5個黑鍵）。

圖六

除了雄蜂譜系之外，費氏數學在植物世界偶爾也可以觀察到。有些花草或樹木，其枝幹的分枝成長符合費氏數列的模式，如圖七所示。

圖七

你以後到野外郊遊或登山時，可以留意觀察或找尋看看有沒有符合費氏數列的樹木。筆者曾在登七星山的途中，發現一棵非常「費氏數列」的樹木。懷著一個問題或目標走入大自然，我們才能真正觀察到東西，生活也會更積極主動。

事實上，費氏數列最先是考慮兔子的繁殖引起的。中世紀歐洲最偉大的數學家 Fibonacci（1180～1250）在1202年出版《算盤之書》(Liber Abaci)，其中有一個問題如下：

假設任何一對新出生的兔子，兩個月後開始生一對新兔，以後每隔一個月都生一對新兔。已知年初有一對新兔，在不發生死亡的情況下，問年底總共有幾對兔子？

假設第 n 個月底兔子總共有 a_n 對，則按題意知

$\begin{displaymath}<br />a_1=1 \; , \; a_2=1<br />\end{displaymath}$

(2)

並且

a_n+2=a_n+1+a_n

(3)

(3)式是一個二階差分方程式，(2)式是初期條件。求解(2)與(3)就是要找出通項 a_n 的公式，這有種種辦法。最早是在1718年由 De Moivre 求得，後來在1843年又由 Binet 重新發現（兩位都是法國數學家），答案是

$\begin{displaymath}<br />a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]<br />\end{displaymath}$

(4)

此式今日叫做 Binet 公式，它含有兩個驚奇：其一是涉及黃金分割的比值 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ，其二是整數數列 (a_n) 居然可用一些無理數的組合來表達。上述兔子問題的答案是 a₁₂=144

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