開關燈問題

一百盞燈分別標上號碼1、2、3、4、…、100，第一個人把每盞燈的拉線開關各拉一下，使得每一盞燈都亮了。第二個人把標號是2的倍數的燈的開關各拉一下，依此類推，直到第一百個人把標號為100的燈的開關拉一下，請問下列哪一盞燈是開著的？
(A)
24　(B) 36　(C) 48　(D)56


一百盞燈分別標上號碼1、2、3、4、…、100，第一個人把每盞燈的拉線開關各拉一下，使得每一盞燈都亮了。第二個人把標號是2的倍數的燈的開關各拉一下，依此類推，直到第一百個人把標號為100的燈的開關拉一下，請問最後有幾盞燈是亮著的？
(A)
8　(B) 9　(C) 10　(D) 11

原連結

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題意:第一個人把所有燈點亮
第二個人把2的倍數的開關各拉一下，變關掉

第三個人把3的倍數的開關各拉一下，亮的變暗, 暗的變亮

……….

第一百個人把標號為100的燈的開關拉一下，亮的變暗, 暗的變亮

想法:

只有1個因數的會亮

有2個因數的會--- >亮--- >暗

有3個因數的會--- >亮--- >暗--- >亮

所以有奇數個因數會亮,
偶數個因數會暗 

(1) 請問下列哪一盞燈是開著的？

24=2^3x3, 有8個因數, 會暗

36=2^2x3^2, 有9個因數, 會亮 

48=2^4x3, 有10個因數, 會暗

56=2^3x7, 有8個因數, 會暗

答案選(B) 

(2) 請問最後有幾盞燈是亮著的？

想法:
1-100中,有幾個數有奇數個因數 

恰有1個因數,
1

恰有3(5,7,9)個因數 :
為完全平方數

做法:

1-100中,有幾個完全平方數:

1^2~10^2, 共10個; 即1, 4, 9, 16,
25, 36, 49, 64, 81, 100

故選(C)