0.9小數循環等於1嗎

0.9小數循環等於1嗎

一般人都會承認0.3小數循環=1/3，0.6小數循環=2/3，

且0.9小數循環應等於0.3小數循環+0.6小數循環，亦即等於

1/3+2/3=1，所以得出0.9小數循環等於1的道理

或是1/3=0.3小數循環，又1/3x3=1，即0.3小數循環x3=0.9小數循環

所以0.9小數循環會等於1

難道，0.9小數循環是會等於1嗎？或是有其他說明解釋？

原連結

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(1).我們先重從除法運算來分析：
1=9÷9
=0…9，即商的個位數為0
=90÷9
=9…9，商的小數第一位為9
=90÷9
=9…9，商的小數第二位為9
=90÷9
=9…9，商的小數第三位為9
=90÷9
=9…9，商的小數第四位為9
=90÷9
=9…9，商的小數第五位為9
…
如此無限地除下去，我們都可以得到下一位的小數為9
意即：0.9小數循環等於1

(2)我們由極限的觀念來分析：
令An=1－1/(10^n)，n為自然數
則
A1=1－1/10=1－0.1=0.9
A2=1－1/100=1－0.01=0.99
A3=1－1/1000=1－0.001=0.999
A3=1－1/10000=1－0.0001=0.9999
…
(由此模式，我們知道：在n->∞時，An所呈現的狀態即為0.9小數無限循環)
我們來看，n->∞時，An的極限值：
lim_An
n->∞
=lim_1－1/(10^n)
n->∞
=1－1/(10^∞)
=1－1/∞(因為10^∞，等於∞)
=1－0(因為1/∞，等於0)
=1

由(1)、(2)故知：0.9小數循環等於1