[課外補充][學習工具]一元三次方程式通解

一元三次方程式通解

 令一元三次方程式為  x³ + ax² + bx + c = 0    

 

其中 a、b、c 屬於 R  ， 不失ㄧ般性

先消去二次項

設   x = y + f  ，帶入此方程式，可得到：

     　 (y + f)³ + a(y + f)² + b (y + f) + c = 0

   →    y³ + ( 3f + a)y² + ( 3f² + 2af + b)y + (f³ + af² + bf + c) = 0

   讓  ( 3f + a) = 0   → 　f = - a/3

   則方程式可改寫成：

       y³ + py + q = 0    _______(1)

   其中  p = ( 3f² + 2af + b) = (b - a² /3)

     　    q = (f³ + af² + bf + c) = (c – ab/3 + 2a³ / 27)

 

   接下來令 y = u + v

        →  y³ = u³ + 3u²v + 3uv² + v³

          　    = u³ + 3uv(u + v) + v³

              　= u³ + 3uvy + v³

        →  y³ - 3uvy - (u³ + v³) = 0    _______(2)

   與 (1) 比較係數後，可得到：

        p = - 3uv

        q = - (u³ + v³)

   →   u³v³ = - p³ / 27

          u³ + v³ = -q

   利用一元二次方程式根與數的關係

   可列出以 Z 為未知數，根為u³、v³ 的方程式：

        Z² + qZ - p³ / 27= 0

   解出 Z = -q/2 ± [(q/2)² + (p/3)³]^1/2

 

   即  u³ = -q/2 + [(q/2)² + (p/3)³]^1/2 

         v³ = -q/2 - [(q/2)² + (p/3)³]^1/2

   讓 A = -q/2 + [(q/2)² + (p/3)³]^1/2

        B = -q/2 - [(q/2)² + (p/3)³]^1/2

   可求出  u = A^1/3 、 A^1/3ω、 A^1/3ω²

                 v = B^1/3 、 B^1/3ω、 B^1/3ω²

   其中 ω= (- 1 + i√3) / 2  為 x³ = 1 的一個複數根

 

   由 p = - 3uv 可判斷出 y 的三組可能解：

      y = (A^1/3 + B^1/3) 、 (A^1/3ω+ B^1/3ω² ) 、 (A^1/3ω² + B^1/3ω)

 

   因此由 x = y + f = y – a/3  即可得出三組通解：

      x  =    (A^1/3 + B^1/3 – a/3)

         or   (A^1/3ω+ B^1/3ω² – a/3)

         or   (A^1/3ω² + B^1/3ω– a/3)

   其中  A = -q/2 + [(q/2)² + (p/3)³]^1/2

             B = -q/2 - [(q/2)² + (p/3)³]^1/2

                  p = ( 3f² + 2af + b) = (b - a² /3)

             q = (f³ + af² + bf + c) = (c – ab/3 + 2a³ / 27)